2020-09-23

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。
Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。

係数には流儀があると思うが、自由状態において係数が $2\pi$ となるように（振動数 $\omega$ での逆Fourier的な積分が1になるように）スペクトル関数 $A$ を定義すると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } \quad (\eta \rightarrow 0+ ) , \\ \displaystyle A(\vec p, \omega) \equiv - 2 {\rm Im} G^{ret}( \vec p, \omega ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A( \vec p, \omega ) = 1 .$

具体例として自由状態を見ると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } + i \eta } , \\ \displaystyle A_0(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A_0( \vec p, \omega ) = 1 .$

一般には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ であるため、スペクトル関数はデルタ関数ではなく幅の付いた関数（例えばローレンツ関数）になる。
$\Sigma$ はエネルギー $\omega$ の関数であるため、 $\omega$ の領域によっては $\rm Im \Sigma$ が値を持ったり持たなかったりする。
ここで、 $\rm Im \Sigma = 0$ の領域を考えると、
$\displaystyle G^{ret}_{\rm Im \Sigma = 0}( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } , \\ \displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) ) .$

デルタ関数の引数が関数だった場合に、次のような関係を使うことができる。
$\displaystyle \delta( f(x) ) = \sum_{x_0 (f(x_0) = 0) } \frac{ \delta( x - x_0 ) }{ | f'(x_0) | }$

したがって、 $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) )$ と定義すると、
$\displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( f( \vec p, \omega ) ) \quad ( f( \vec p, \omega( \vec p ) ) = 0 ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| \frac{\partial f( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad \equiv 2 \pi Z( \vec p ) \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) , \\ \displaystyle Z( \vec p ) = \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} .$
$Z$ はrenormalization factor（繰り込み因子 or 再規格化因子）と呼ばれる。 $\int d\omega/2\pi \, A(\omega) = 1$ より、 $Z \le 1$ が言える。

$Z < 1$ の時には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ の領域が存在し、
$\displaystyle \int \frac{ d \omega} {2\pi} \, \left( A_{\rm Im \Sigma = 0}(\omega) + A_{\rm Im \Sigma \neq 0}(\omega) \right) = 1$
となって、積分値が保存される。

参考文献

G. D. Mahan, "Many-Particle Physisc (THIRD EDITION)".

2020-09-23

Hartree原子単位系とRydberg原子単位系

量子力学

いっつも細かいところを忘れる。
良い記述を見つけたのでメモ。

The Hartree atomic units

$\displaystyle e = m = \hbar = 1, \\ \displaystyle c = 1 / \alpha , \\ \displaystyle E^{H}_{1s} = 1/2 .$

$\alpha$ は微細構造定数, $E^H_{1s}$ は水素原子の1s電子のエネルギー。

The Rydberg atomic units

$\displaystyle e^2 = 2, \\ \displaystyle m = 1/2 \\ \displaystyle \hbar = 1, \\ \displaystyle c = 2 / \alpha , \\ \displaystyle E^{H}_{1s} = 1 .$

参考文献

M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "X-RAY COMPTQON SCATTERING", Oxford University Press.

2020-09-03

等速円運動の曲率半径

力学

自然座標

$\vec r(t)$ が描く軌道上の点 $\vec r(t_0=0)$ を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿った $\vec r(t_1)$ までの距離を $s(t_1)$ とおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離 $s$ は時間 $t$ の関数 $s(t)$ で表せる。
これを推し進め、 $\vec r(t) = \vec r_s( s( t ) )$ と変換すれば、軌道は $s$ の変数としてみなすことが出来る。

この表現を用いて、速度を表すことを考える。
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r }{ d t } = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t }$
ここで、
$\displaystyle \frac{ d \vec r_s }{ d s } = \lim_{\Delta s \rightarrow0} \frac{ \vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s ) }{ \Delta s }$
$|\vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s )|$ は二点間の直線距離、 $\Delta s$ はその二点間の軌道上の距離であるが、微小極限 $\Delta s \rightarrow 0$ では両者は一致するから、 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ は単位ベクトル $\left| \frac{ d \vec r_s }{ d s } \right| = 1$ であることがわかる。 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ の方向は、点 $s$ における軌道の接線方向に一致する。
$\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ が単位ベクトルであるから、 $\frac{ d s }{ d t }$ はそのまま速度の大きさに一致する。
まとめると
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = v \vec t \\ \displaystyle \vec t \equiv \frac{ d \vec r_s }{ d s }, \quad |\vec t| = 1 \\ \displaystyle v \equiv |\vec v| = \frac{ d s }{ d t }$

次に加速度を求める。
$\displaystyle \vec a = \frac{ d \vec v }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v \frac{ d \vec t }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s }$
$\vec t$ が単位ベクトルであるため、 $s$ の微小変化に対する $\vec t$ の変化は微小回転に対応する。この $\vec t$ の微小回転は、回転中心を頂角に持つ二等辺三角形で図示され、底辺の長さが $\vec t$ の変化量に対応する。微小回転においては、二等辺三角形の底辺と円弧は等しいため、底辺以外の長さは $|\vec t| = 1$ であるから、 $|\Delta \vec t| = 1 \cdot \Delta \phi = \Delta \phi$ と書ける。 $\Delta \phi$ は微小回転角である。
これによって、 $\left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right|$ は長さの逆数の次元を持つことが分かる。
$\displaystyle \left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right| = \frac{d \phi}{ d s } \equiv \frac{1}{\rho}$
$\rho$ を曲率半径と呼ぶ。後で、等速円運動において半径に一致することを示す。
$\frac{ d \vec t }{ d s }$ は微小回転運動を表すため、その向きは $\vec t$ に対して垂直である。接線に垂直な線分を法線と呼ぶため、 $\frac{ d \vec t }{ d s }$ は法線ベクトルに平行と言える。
まとめると、
$\displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s } \equiv \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n \\ \displaystyle |\vec n| = 1, \quad \vec t \cdot \vec n = 0$

等速円運動

等速円運動を直観的に表すと、
$\displaystyle \vec r( t ) = ( r( t ) \cos( \theta( t ) ), r( t ) \sin( \theta( t ) ) ) = r( t ) \vec e_r( t ) \\ \displaystyle \vec e_r( t ) = ( \cos( \theta( t ) ), \sin( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_r( t ) | = 1 \\ \displaystyle r( t ) = a, \quad \theta( t ) = \omega t + \alpha$

ここから、速度と加速度が求まる。
$\displaystyle \vec v( t ) = \frac{ d r }{ d t } \vec e_r + r \frac{ d \vec e_r }{d t} = a \omega ( -\sin\theta, \cos\theta ) \equiv a \omega \vec e_\theta \\ \displaystyle \vec e_\theta( t ) = ( - \sin( \theta( t ) ), \cos( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_\theta( t ) | = 1, \quad \vec e_r \cdot \vec e_\theta = 0 \\ \displaystyle \vec a( t ) = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r$

これを自然座標の結果と比較する。
$\displaystyle \vec a = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r \\ \displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n$
等速円運動において、速度のノルムは $v = a \omega$ で変化しないから $\frac{ d v }{ d t } = 0$ 。円運動の法線は回転中心に向かっているから、 $\vec n = - \vec e_r$ 。
よって、
$\displaystyle a \omega^2 = \frac{ (a \omega)^2 }{ \rho } \Leftrightarrow \rho = a$

円運動における曲率半径が厳密に半径に一致することが示せた。
つまり、曲率半径は、軌道上のある点を円運動と見なした時に対応する円の半径を表している。
直線であれば無限に大きいし、急に曲がっていたら有限の小さい値になることが、ここから理解できる。

2020-08-28

EXAFS解析の"Thorough Search"法について。

固体物理量子力学統計力学

www.jstage.jst.go.jp

Curve fitting (CF)だと最小のR因子を与えるパラメータ（の組）しか最終結果が得られないが、Thorough search (TS)だと（大雑把に言って）他の極小値もわかる、というもの。
具体的には、R因子に上限（例えばR<0.05等）を設定して、それを満たすパラメータ群の中で、一つのパラメータに注目したヒストグラム（ある幅を持たせた値の中に、条件を満たしたパラメータが何個存在するかをプロットしたもの。R因子の値そのものは関係がない点に注意。）のピークが、CFで言うところの極小値に対応する（つまり、ピークを与えるパラメータが解析結果の候補となる）というもの。
複数の候補が得られるメリットとしては、他の実験事実との整合が付く「より正しい構造パラメータ」を抽出出来るという点である。スペクトルと幾何構造が一対一対応している保証がないので、一体何対応なのかがわかっておくと、そこから条件をかけて絞ることができる。

しかし、「R因子」を見る代わりに「ヒストグラム」に置き換えることは正当化されるのだろうか？少し考察する。

ヒストグラムのピークがR因子の極小値に対応して良いのか？

R因子がパラメータに対して連続関数であれば（そしてこれは通常満たされると期待して良い）、R因子の極小値においてパラメータによる微分はゼロになる。すなわち、極小値近傍でパラメータを微小変化させてもR因子は変化しないから、極小値を与えるパラメータ近傍もR因子に対する条件を満たしており、ヒストグラムを取った時に極小値近傍のパラメータは全部カウントされることになる。なので、一見良さそうに見える。
しかし、重要なのがパラメータの数である。パラメータの数が少ないとこの方法は使えない。例えばパラメータ１個では、条件を満たすか満たさないかだけでカウントするから、ゼロか定数かになってピーク構造が現れない。パラメータの数が多くなって条件を満たすことが難しくなった時に、極小値に対応したピークがヒストグラムに現れるようになる。
実際、論文のFig.2で示されている、パラメータが２個の場合の模式図では、TSは単に中心を与えていて、最小値はおろか極小値からもズレている。一方、Fig.4辺りで示されているPt L3-edge EXAFSの解析では、パラメータは4個であり、結果もCFとよく対応している。

ヒストグラムのピークの幅は誤差として評価して良いのか？

前述したことを踏まえると、「ピークが狭ければ狭いほど、『ヒストグラムのピーク』と『R因子の極小値』の対応が良くなる」ということは言えると思う。論文のFig.2のヒストグラムのピークは明らかにlocal minimumを与えるピークより広く、対応が悪いことがわかる。
ただし、R因子が元々パラメータにどれくらい強く依存しているかを見ていないので、そもそも依存性がそんなに強くないパラメータでは元々幅が広いだろうから、「幅が広いからダメ」と直ぐに決め付けることは出来ない。
また、「スペクトルと構造モデルの誤差」そのものはR因子に含まれているので、ヒストグラムのピーク幅が統計的な意味での誤差には対応しないように思う。

ヒストグラムにすることのメリットについて。

極小値を与えるパラメータ（の組み）の候補が知りたいのであれば、R因子を小さい順に並べて、下からいくつか選べば済むように直観的には感じられる。しかし、前述した通り、極小値近傍のパラメータも小さいR因子を与えるため、並び替えるだけでは極小値が単一なのか複数あるのかがわからないのである。重要なのは、小さいR因子を与えるパラメータ群が近いのか遠いのかを判断することである。その意味において、ヒストグラムは「ピーク構造」という形で各パラメータ群を類別することができる。

以上のように、パラメータの多い複雑な系に対して上手い手法であることがわかる。
一つ注意としては、結局はパラメータフィッティングであるため、TSであれCFと同じようにフィッティングパラメータの数はデータ点の数によって制限を受けているという点である。そのため、複雑な系に対して有効であるが、複雑な系であればパラメータの数は増えるので、やはりパラメータの数をいかに減らすかというところに職人芸が必要であることには変わらない。

2020-06-10

運動量演算子のエルミート性。

量子力学数学

いつも忘れる。

参考サイト。
位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ

結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値（つまり積分）の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。
ただし、無限遠で部分積分がゼロになることが暗に仮定されている。これは、直観的に言えば「平面波に対しては運動量演算子のエルミート性はどうなの？」となりそうだが、平面波はめちゃくちゃ特別でそもそも部分積分が要らないというチートな性質があるため、ここの一般的な導出には乗らないのである。

2020-05-28

単一三角格子の固有値問題。

数学固体物理

単一三角格子において、各サイトへのホッピングを $t$ で表すと、ハミルトニアンは
$\displaystyle H = \begin{pmatrix} 0&t&t\\t&0&t\\t&t&0 \end{pmatrix}$
と書ける。
このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルを求める。

$\displaystyle \begin{vmatrix} -\varepsilon&t&t\\t&-\varepsilon&t\\t&t&-\varepsilon \end{vmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore ( - \varepsilon^3 + 2 t^3 ) - ( - 3 t^2 \varepsilon) = 0 \\ \displaystyle \Rightarrow \varepsilon^3 - 3 t^2 \varepsilon - 2 t^3 = 0$

三次方程式の解き方を忘れたので、以下のサイトを参照。
三次方程式の解き方と例題３問 | 高校数学の美しい物語
 方程式の有理数解 | 高校数学の美しい物語
要するに、 $\varepsilon^3$ の係数は $1$ なので、解が有理数であるならば、定数次項である $-2t^3$ の約数が一つの解になっているはずである。
実際、 $\varepsilon = - t$ で確かに方程式がゼロになる。
よって、 $(\varepsilon + t)$ で約分して行けば、
$\displaystyle (\varepsilon + t )^2 (\varepsilon - 2t ) = 0 \\ \displaystyle \therefore \varepsilon = -t, 2t$

$\varepsilon = 2t$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2t&t&t\\t&-2t&t\\t&t&-2t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore c_1 = c_2 = c_3 \\ \displaystyle \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\varepsilon = -t$

$\displaystyle \begin{pmatrix} t&t&t\\t&t&t\\t&t&t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore c_1 = - c_2 - c_3 \\ \displaystyle \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

2020-03-26

等方的な関数のフーリエ変換。

数学

1次元

$r = |x|, q = |k_x|$

$\displaystyle f(k_x) = \int^\infty_{-\infty} dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } = \int^\infty_0 dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } + \int^0_{-\infty} dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_0 dr\, f( r ) e^{ - i k_x r } + \int^\infty_0 dr\, f( r ) e^{ i k_x r } = 2 \int^\infty_0 dr\, f( r ) \cos{( k_x r )} \\ \displaystyle \qquad = 2 \int^\infty_0 dr\, f( r ) \cos{( q r )} = f( q )$

2次元

$r = \sqrt{ x^2 + y^2 }, q = \sqrt{ k_x^2 + k_y^2 }$

$\displaystyle f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } = \int^\infty_0 r dr\, f( r ) \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos( \theta - \theta_k ) } \\ \displaystyle \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos( \theta - \theta_k ) } = \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos \theta } = 2\pi J_0( q r ) \\ \displaystyle \therefore f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } = 2 \pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r J_0( q r ) \right) = f( q )$

3次元

$r = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }, q = \sqrt{ k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 }$

$\displaystyle f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, \int^\infty_{-\infty} dz\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_0 r^2 dr\, f( r ) \int^{\pi}_0 \sin\theta d \theta \, e^{ - i q r \cos\theta } \int^{2\pi}_0 d\varphi \\ \displaystyle \qquad = 2\pi \int^\infty_0 r^2 dr\, f( r ) \int^1_{-1} du \, e^{ - i q r u } \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, r^2 f( r ) \frac{ \sin( qr ) }{ qr } \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r^2 \frac{ \sin( qr ) }{ qr } \right) \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r^2 j_0( qr ) \right) \\ \displaystyle \qquad = f( q )$

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。