連続の式

連続の式を導出する。

発想として、密度の時間依存性と時間依存のシュレーディンガーを方程式を結び付けることを考える。
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{ \partial t } = \frac{\partial \psi^*}{ \partial t } \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{ \partial t } = \frac{1}{ i \hbar } \left( - \left( i \hbar \frac{\partial \psi } { \partial t } \right)^* \psi + \psi^* \left( i \hbar \frac{\partial \psi}{ \partial t }\right) \right) \\ \displaystyle i \hbar \frac{\partial \psi } { \partial t } = \left( \frac{ \hbar^2 }{ 2m } \nabla^2 + V \right) \psi \\ \displaystyle \therefore \frac{\partial \rho}{ \partial t } = \frac{1}{ i \hbar } \left( - \psi \left( \frac{ \hbar^2 }{ 2m } \nabla^2 + V^* \right) \psi^* + \psi^* \left( \frac{ \hbar^2 }{ 2m } \nabla^2 + V \right) \psi \right) \\ \displaystyle \quad = - \frac{1}{ i \hbar } \frac{ \hbar^2 }{ 2m }( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* ) + \frac{1}{ i \hbar } ( V - V^* ) \rho \\ \displaystyle \quad = - \frac{1}{ i \hbar } \frac{ \hbar^2 }{ 2m } 2 i \Im ( \psi^* \nabla^2 \psi ) + \frac{\rho}{ i \hbar } 2 i \Im V$

ここで、ベクトル解析の関係式から、
$\displaystyle \psi^* \nabla^2 \psi = \nabla \cdot ( \psi^* \nabla \psi ) - ( \nabla \psi )^* \cdot ( \nabla \psi ) \\ \displaystyle \therefore \Im ( \psi^* \nabla^2 \psi ) = \nabla \cdot \Im ( \psi^* \nabla \psi )$

したがって、
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{ \partial t } = - \nabla \cdot \left( \frac{1}{ i \hbar } \frac{ \hbar^2 }{ 2m } 2 i \Im ( \psi^* \nabla \psi ) \right) + \rho \frac{2}{ \hbar } \Im V \equiv - \nabla \cdot {\bf j} + \rho \frac{2}{ \hbar } \Im V \\ \displaystyle {\bf j} = \frac{1}{ i \hbar } \frac{ \hbar^2 }{ 2m } 2 i \Im ( \psi^* \nabla \psi ) = \frac{ \hbar }{ m } \Im ( \psi^* \nabla \psi )$

よって、連続の式は、
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{ \partial t } + \nabla \cdot {\bf j} = \rho \frac{2}{ \hbar } \Im V$

ポテンシャルが虚部を含む時（ $\Im V \neq 0$ ）、確率が保存しないことがわかる。

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。