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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

光学定理（実ポテンシャル）：外向波と内向波

量子力学

実ポテンシャル、つまり非弾性散乱が無い時の光学定理を導く。

散乱波を次のように定義する。
\displaystyle \psi^{\pm}( \vec{ r } ) = A \left( e^{ i \vec{k} \cdot \vec{r} } + \frac{ f^{\pm}( \theta, \phi ) }{ r } e^{ \pm i k r} \right) \equiv \psi_{in}( \vec{ r } ) + \psi_{out}^{\pm}( \vec{ r } )
\pmはそれぞれ外向波、内向波を表す。

球座標に対する \nablaは
\displaystyle \nabla = \hat{r} \frac{ \partial }{\partial r} + \frac{ 1 }{ r } u( \theta, \phi ) \\ \displaystyle u( \theta, \phi ) = \vec{e}_{\theta} \frac{ \partial }{ \partial \theta } + \frac{ \vec{e}_{\phi} }{ \sin\theta } \frac{ \partial }{ \partial \phi }

入射波に対する勾配は、
\displaystyle \nabla \psi_{in} = i k \hat{k} \psi_{in}

散乱波に対する勾配は、 r \rightarrow \inftyにおいて O( r^{-1} ) だけ残すと、
\displaystyle \frac{1}{A} \nabla \psi^{\pm}_{out} = \frac{ f^{\pm} }{ r } \hat{r} \frac{ \partial e^{\pm i kr } }{\partial r} + f^{\pm} e^{\pm i kr } \hat{r} \frac{ \partial \frac{1}{r} }{\partial r} + \frac{e^{\pm i kr }}{r} \frac{1}{r} ( u f^{\pm} ) \\ \displaystyle \quad = \pm i k \hat{r} \frac{ f^{\pm} }{ r } e^{\pm i kr } + O\left( \frac{1}{r^2} \right) \rightarrow \pm i k \hat{r} \psi^{\pm}_{out}

したがって、確率流密度は
\displaystyle {\bf J}^{\pm} = \frac{\hbar}{m} \Im \left( ( \psi_{in} + \psi^{\pm}_{out} )^* i k ( \hat{k} \psi_{in} \pm \hat{r} \psi^{\pm}_{out} )\right) \\ \displaystyle \quad = \frac{\hbar k }{m} |\psi_{in}|^2 \hat{k} \pm \frac{\hbar k }{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2 \hat{r} + \frac{\hbar }{m} \Im \left( \pm i k \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} \hat{r} + i k (\psi^{\pm}_{out})^* \psi_{in} \hat{k} \right) \\ \displaystyle \quad = \frac{\hbar k }{m} |\psi_{in}|^2 \hat{k} \pm \frac{\hbar k }{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2 \hat{r} + \frac{\hbar }{m} \left( \pm \Re( k \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \hat{r} + \Re ( k (\psi^{\pm}_{out})^* \psi_{in} ) \hat{k} \right) \\ \displaystyle \quad = \frac{\hbar k }{m} |\psi_{in}|^2 \hat{k} \pm \frac{\hbar k }{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2 \hat{r} + \frac{\hbar k }{m} \left( \pm \Re( \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \hat{r} + \Re ( (\psi^{\pm}_{out})^* \psi_{in} ) \hat{k} \right) \\ \displaystyle \quad = \frac{\hbar k }{m} |\psi_{in}|^2 \hat{k} \pm \frac{\hbar k }{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2 \hat{r} + \frac{\hbar k }{m} \Re( \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \left(\hat{k} \pm \hat{r} \right) \\ \displaystyle \quad \equiv {\bf J}_{in} + {\bf J}^{\pm}_{out} + {\bf J}^{\pm}_{inter}

干渉項を計算するために、平面波の球面波による漸近形を利用する。
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\displaystyle \frac{1}{A} \psi_{in}^* = e^{ - i \vec{k} \cdot \vec{r} } \rightarrow \frac{ 4\pi }{ 2 i k r } \left( e^{ i k r } \delta( \hat{r} - (- \hat{k} ) ) - e^{ - i k r } \delta( \hat{r} + ( - \hat{k} ) ) \right)

これにより、
\displaystyle \psi_{in}^* \psi^+_{out} ( \hat{ k } + \hat{r} ) \rightarrow |A|^2 \frac{ 4\pi }{ 2 i k r } \left( f^+( \pi ) e^{ 2 i k r } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) - f^+( 0 ) \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \right) ( \hat{k} + \hat{ r } ) \\ \displaystyle \quad = |A|^2 \frac{ 4\pi }{ 2 i k r } \left( - f^+( 0 ) \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \cdot 2 \hat{k} \right) \\ \displaystyle \psi_{in}^* \psi^-_{out} ( \hat{ k } - \hat{r} ) \rightarrow |A|^2 \frac{ 4\pi }{ 2 i k r^2 } \left( f^-( \pi ) \delta( \hat{r} + \hat{k} ) - f^-( 0 ) e^{ - 2 i k r } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \right) ( \hat{k} - \hat{r} ) \\ \displaystyle \quad = |A|^2 \frac{ 4\pi }{ 2 i k r^2 } \left( f^-( \pi ) \delta( \hat{r} + \hat{k} ) \cdot ( 2 \hat{k} ) \right) \\ \displaystyle \therefore {\bf J}_{inter}^{\pm} = |A|^2 \frac{\hbar k}{m} \frac{ 4\pi }{ 2 k r^2 } 2 \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right] \delta( \hat{r} \mp \hat{k} ) ( \mp \hat{k} ) \\ \displaystyle \quad = \frac{ 4\pi }{ k } |A|^2 \frac{ \hbar k }{ m } \frac{ 1 }{ r^2 } \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right] \delta( \hat{r} \mp \hat{k} ) ( \mp \hat{k} )

確率流密度が求まったので、連続の式で確率の保存を考える。
定常状態かつ実ポテンシャルの下で、
\displaystyle \frac{ \partial \rho }{ \partial t } = 0, \quad \Im V = 0, \\ \displaystyle \therefore \frac{ \partial \rho }{ \partial t } + \nabla \cdot {\bf J} = 0 \rightarrow \nabla \cdot {\bf J} = 0

したがって、半径 rの体積積分を取り、ガウスの定理を使えば、
\displaystyle \int_{\Omega_r} d\vec{r} \, \nabla \cdot {\bf J} = r^2 \int d\hat{r} \,{\bf J} \cdot \hat{r}

したがって、各確率流密度が与える寄与は、
\displaystyle r^2 \int d\hat{r} \,{\bf J}_{in} \cdot \hat{r} = r^2 \frac{ \hbar k }{ m } |A|^2 \int d\hat{r} \, \hat{k} \cdot \hat{r} = 0 \\ \displaystyle r^2 \int d\hat{r} \,{\bf J}^{\pm}_{out} \cdot \hat{r} = \pm \frac{ \hbar k }{ m } |A|^2 \int d\hat{r} \, | f^{\pm} |^2 = \pm \frac{ \hbar k }{ m } |A|^2 \sigma^{\pm}_{ela} = \pm \frac{ \hbar k }{ m } |A|^2 \sigma^{\pm}_{tot} \\ \displaystyle r^2 \int d\hat{r} \, {\bf J}^{\pm}_{inter} \cdot \hat{r} \\ \displaystyle \quad = r^2 \frac{ 4\pi }{ k } |A|^2 \frac{ \hbar k }{ m } \frac{ 1 }{ r^2 } \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right] \int d\hat{r} \, \delta( \hat{r} \mp \hat{k} ) ( \mp \hat{k} ) \cdot \hat{r} \\ \displaystyle \quad = - \frac{ 4\pi }{ k } |A|^2 \frac{ \hbar k }{ m } \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right]
実ポテンシャルの場合には、非弾性散乱が無いので、 \sigma_{ela} = \sigma_{tot}である。

したがって、上記の確率保存の観点から、光学定理と呼ばれる次の関係式が得られる。
\displaystyle \pm \sigma^{\pm}_{tot} - \frac{ 4\pi }{ k } \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right] = 0 \\ \displaystyle \therefore \sigma^{\pm}_{tot} = \pm \frac{ 4\pi }{ k } \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 )\right]

多くの場合、外向波の条件でしか光学定理が導かれていないが、内向波だと後方散乱の虚部が全断面積を与えることがわかる。
これは、入射波と同じ向きの波が、外向波が前方だが、内向波では後方に対応することに因る。