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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

平面波の球面波展開における漸近形

量子力学 数学

平面波の角運動量展開（球面波展開）
\displaystyle e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} } = 4 \pi \sum_{L} i^l j_l( kr ) Y_L( \hat{r} ) Y^*_L( \hat{k} )

球Bessel関数よりも球Hankel関数の方が、漸近形を覚え易い。
\displaystyle j_l( kr ) = \frac{1}{2}( h^+_l( kr ) + h^-_l( kr ) ) \\ \displaystyle h^{\pm}_l( kr ) \rightarrow \pm \frac{ 1 }{ i kr } e^{ \pm i ( kr - l \pi / 2 )} = \pm \frac{ 1 }{ i kr } ( \mp i )^l e^{ \pm i kr }

これらを使うと、
\displaystyle e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} } \rightarrow 4 \pi \frac{ 1 }{ 2 i k r } \sum_{L} ( e^{ i kr } - ( -1 )^l e^{ - ikr } ) Y_L( \hat{r} ) Y^*_L( \hat{k} ) \\ \displaystyle \quad = 4 \pi \frac{ 1 }{ 2 i k r } \sum_{L} ( e^{ i kr } Y_L( \hat{r} ) Y^*_L( \hat{k} ) - e^{ - ikr } Y_L( - \hat{r} ) Y^*_L( \hat{k} ) ) \\ \displaystyle \quad = 4 \pi \frac{ 1 }{ 2 i k r } ( e^{ i kr } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) - e^{ - ikr } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) )

例えば、仮に平面波の複素共役を取った場合、
\displaystyle \left( e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} } \right)^* = e^{ - i \left( \vec{k} \right)^* \cdot \vec{r} } \\ \displaystyle \quad \rightarrow 4 \pi \frac{ 1 }{ - 2 i k^* r } ( e^{ - i k^* r } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) - e^{ ik^*r } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) ) \\ \displaystyle \quad = 4 \pi \frac{ 1 }{ 2 i k^* r } ( e^{ ik^*r } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) - e^{ - i k^* r } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) ) \\ \displaystyle \quad = 4 \pi \frac{ 1 }{ 2 i k^* r } ( e^{ ik^*r } \delta( \hat{r} - ( - \hat{k} ) ) - e^{ - i k^* r } \delta( \hat{r} + ( - \hat{k} ) ) )