電子ガスでよく使うパラメータまとめ

電子密度

$\displaystyle \rho = \frac{ N }{ V }$

電子一個が占める球の半径

$\displaystyle r_0 = \left( \frac{ 3 }{ 4\pi } \frac{ 1 }{ \rho } \right)^{1/3} \\ \displaystyle \because V = \frac{ 4 \pi r_0^3 }{ 3 } N$

Bohr半径

$\displaystyle a_0 = \frac{ 4\pi \epsilon_0 \hbar^2 }{ m e^2 } \rightarrow \frac{ \hbar^2 }{ m e^2 }$

Bohr半径で規格化した電子一個分の半径

$\displaystyle r_s = \frac{ r_0 }{ a_0 }$

Fermi波数

$\displaystyle k_F = \left( 3 \pi^2 \rho \right)^{1/3} = \left( \frac{ 9\pi }{ 4 } \right)^{1/3} \frac{ 1 }{ r_0 } \approx \frac{ 1.92 }{ r_0 } \\ \displaystyle \because N = \sum_{\sigma} \sum_{ \boldsymbol k } \theta( k_F - k ) = 2 \frac{ V }{ ( 2\pi )^3 } 4 \pi \int^{k_F}_0 dk \, k^2 \\ \displaystyle \qquad = \frac{ V }{ \pi^2 } \frac{ k_F^3 }{ 3 } = \frac{ V }{ 3 \pi^2 } k_F^3$

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

電子ガスでよく使うパラメータまとめ