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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

永年方程式は無限空間には使えない。

量子力学

第一原理計算でよくある平面波展開は、よく考えると無限空間には使えない。
というのも、平面波の規格化が箱の規格化ではなく、デルタ関数規格化だからである。

\displaystyle \left( -\frac{ \nabla^2 }{ 2 } + V( \vec{r} ) - \epsilon \right) \psi( \vec{r} ) = 0

\psiを無限空間の平面波で展開すると、
\displaystyle \psi( \vec{r} ) = \frac{ 1 }{( 2 \pi )^{3/2}} \int d\vec{p} \, \tilde{ \psi }( \vec{p} ) e^{ i \vec{p} \cdot \vec{ r } } \\ \displaystyle \int d\vec{p} \, \left( \frac{ p^2 }{ 2 } + V( \vec{r} ) - \epsilon \right) \tilde{\psi}( \vec{p} ) e^{ i \vec{p} \cdot \vec{ r } } = 0

これの左から任意の平面波をかけて、位置で積分することで直交性から行列が上手いこと得られるというものであるが、
\displaystyle \frac{ 1 }{( 2 \pi )^3} \int d\vec{r} \int d\vec{p} \, \left( \frac{ p^2 }{ 2 } + V( \vec{r} ) - \epsilon \right) \tilde{\psi}( \vec{p} ) e^{ i \left( \vec{p} - \vec{p}_0 \right) \cdot \vec{ r } } = 0 \\ \displaystyle \int d\vec{p} \, \left( \left( \frac{ p^2 }{ 2 } - \epsilon \right) \delta( \vec{p} - \vec{p}_0 ) + V_{\vec{p}_0, \vec{p}} \right) \tilde{\psi}( \vec{p} ) = 0 \\ \displaystyle V_{\vec{p}_0, \vec{p}} = \frac{ 1 }{( 2 \pi )^3} \int d\vec{r} \, V(\vec{r}) e^{ i \left( \vec{p} - \vec{p}_0 \right) \cdot \vec{ r } }

周期系の結晶運動量の平面波の場合と比較すると、
\displaystyle \sum_{\vec{k}} \left( \left( \frac{ k^2 }{ 2 } - \epsilon \right) \delta_{\vec{k}_0, \vec{k} } + V_{\vec{k}_0, \vec{k}} \right) \tilde{\psi}( \vec{k} ) = \sum_{\vec{k}} M_{\vec{k}_0, \vec{k} } \tilde{\psi}_{\vec{k}} = 0 \\ \displaystyle V_{\vec{k}_0, \vec{k}} = \frac{ 1 }{L^3} \int d\vec{r} \, V(\vec{r}) e^{ i \left( \vec{k} - \vec{k}_0 \right) \cdot \vec{ r } }

周期系の場合には、 \delta_{\vec{k}_0, \vec{k} } が使われていて、値が発散することはないため、行列にして固有値を求めることが安全に出来るが、無限系の場合、 \delta( \vec{p} - \vec{p}_0 ) であるから、仮に行列にしたとしても対角成分が無限大に発散して、処理出来ない。