古典的な相関関数のまとめ

「相関とは内積の拡張のようなものである」という説明で納得した。
相関関数 [物理のかぎしっぽ]

離散的な数直線上の点 $x_1, x_2, \cdots$ における関数値 $( f(x_1), f(x_2), \cdots )$ をベクトル $\vec{f}$ と思えば、内積 $h$ は

$\displaystyle h = \vec{ f } \cdot \vec{ g } = \sum_i f( x_i ) g( x_i )$

と表せる。これがゼロのとき、関数 $f, \, g$ は互いに直交していると言える。

ここで、 $x$ を連続量に置き換え、それに伴って和を積分に置き換えれば、内積を拡張したものが得られる。

$\displaystyle h = \int f( x ) \, g( x ) \, dx$

これを相関と呼ぶ。
$f = g$ もしくは $f \neq g$ のときをそれぞれ自己相関、相互相関と呼ぶ。
自己相関は、ベクトルで言えば「ノルムの二乗」に相当する。
自己相関がゼロで無いときに、相互相関がゼロになる場合、互いに直交すると言える。

フーリエ変換も、ある波数の平面波との相関を取ったものである。
$\displaystyle f( k ) = \int^{\infty}_{-\infty} f( x ) \, e^{ - i k x } \, dx, \\ \displaystyle f( x ) = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} f( k ) \, e^{ i k x } \, dk$

しかし、自己相関関数と言うと、意味が変わる。
http://www.jspf.or.jp/Journal/PDF_JSPF/jspf2009_09/jspf2009_09-620.pdf
自己相関関数は、自分自身をズラしたものとの相関であり、ズラす量を引数に持つ。
$\displaystyle h( \xi ) = \int f( x ) \, f( x + \xi ) \, dx$

$h(\xi)$ を $h(0)$ 、つまり、自己相関で規格化したものを自己相関係数と呼ぶ。

$\displaystyle c( \xi ) = h(\xi) / h(0), \qquad c( 0 ) = 1$

関数 $f(x)$ が周期的な場合、自己相関関数（係数）も周期的に振動し、 $c$ が最初に $x$ を跨ぐ $\xi_0$ は変動の速さを特徴付ける量として使うことが出来る。

自己相関関数の被積分関数をフーリエ変換を用いて表すと、
（ただし、 $f(x)$ は実関数で積分区間外でゼロ（ $f(x) = 0 \, ( x < a, b < x)$ ））
$\displaystyle h_f( \xi ) = \int^b_a f( x ) \, \left( \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} f( k ) e^{ i k ( x + \xi ) } \, dk \right) \, dx, \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} \left( \int^b_a f( x ) e^{ i k x }\, dx \right) \, f( k ) e^{ i k \xi } \, dk, \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} \left( \int^{\infty}_{-\infty} f( x ) e^{ - i k x }\, dx \right)^* \, f( k ) e^{ i k \xi } \, dk, \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} f( k )^* f( k ) e^{ i k \xi } \, dk \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} | f( k ) |^2 e^{ i k \xi } \, dk$

つまり、真面目に関数をちょっとずつズラして積分しなくても、フーリエ変換の（強度の）逆フーリエ変換から自己相関関数を求めることが出来る。
今まで、「ふーん」としか思っていなかったが、よく考えると、
$\displaystyle | f( x ) |^2 \neq \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} | f( k ) |^2 e^{ i k x } \, dk$
であり、フーリエ成分を（絶対値の）二乗して逆フーリエしたら全然違う量になっているのは、なかなか面白いのではないか？

この「逆フーリエ変換すると自己相関関数を与える」関数をスペクトル $s(k)$ と呼ぶ。

$\displaystyle s_f( k ) = | f( k ) |^2 \\ \displaystyle h_f( \xi ) = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} s_f( k ) e^{ i k \xi } \, dk$

特に、 $h( 0 )$ は実関数 $f(x)$ の全強度に対応し、 $h( 0 ) \propto \int s( k ) \, dk$ から、「スペクトル $s(k)$ は（周）波数ごとの強度」と解釈出来ることがわかる。また、計算したスペクトルが正しいかどうか、直接求めた全強度と比較することでチェックすることも出来る。

余談だが、平均値 $\bar{f}$ からのズレである $\delta f(x) = f(x) - \bar{f}$ を扱う方が便利なこともある。
自己相関が分散に対応するように自己相関関数 $H$ を以下のように定義すると、
$\displaystyle H( \xi ) = \frac{ 1 }{ L } \int^b_a \delta f( x ) \, \delta f( x + \xi ) \, dx = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} S( k ) e^{ i k \xi } \, dk, \\ \displaystyle L = \int^b_a \, dx, \qquad S(k) = \frac{ 1 }{ L } | \delta f( k ) |^2$
この場合、 $H( 0 )$ が全分散を与えるため、スペクトルは（周）波数ごとの分散を与えるものとして解釈出来る。これは揺らぎの解析に利用出来ると考えられる。

自己相関関数があるならば、相互相関関数も定義出来る。
$\displaystyle h_{fg}( \xi ) = \int^b_a f( x ) g( x + \xi ) \, dx = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int^{\infty}_{-\infty} s_{fg}( k ) e^{ i k \xi } \, dk \\ \displaystyle c_{fg}( \xi ) = \frac{ h_{fg}( \xi ) }{ h_f( 0 ) h_g( 0 ) } \\ \displaystyle s_{fg}( k ) = f^*( k ) g( k )$