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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

二次元ハミルトニアンとパウリ行列

量子力学

H = a ( |1><1| - |2><2| + |1><2| + |2><1| )の固有値を求める問題をパウリ行列使って解く方法が割と楽しい（サクライでは章末問題になっている）。
これを行列で書くと、

\displaystyle H = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ = a ( \sigma_z + \sigma_x ) = a \sqrt{2}( \sigma \cdot \hat{n} )

ただし、 \hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)の単位ベクトルである。
せっかくなので、パウリ行列をスピン演算子に直してあげれば、 S_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_iより

\displaystyle H = \sqrt{2} a \frac{2}{\hbar} ( {\bf S} \cdot \hat{n} )

で、変形して何なんだという話であるが、 {\bf S} \cdot \hat{n}の固有値は \pm \frac{\hbar}{2}で物理的に明らか（ \hat{n}方向を向いたスピンの固有値を表している。なぜそうなるのは自明というよりかは自然（実験事実）からの要請に近い。）であるため、このハミルトニアンの固有値は E = \pm \sqrt{2}aであることが行列式を使わずにわかってしまう。

ちなみに固有ベクトルだが、違う章末問題で {\bf S} \cdot \hat{n}の固有値を回転行列を使わないで真面目に固有値方程式を解く趣旨のものがあり、そっちも教育的で楽しい。固有値はもうわかっているから展開係数を直接求めるのだが、そういうプロセスはあんまりないなぁとボンヤリ思ったりもした。いずれそれもまとめたい。