サクライの章末問題に載っててフムフムとなった縮退の話。
演算子が互いに交換せず(
)、かつそれぞれがハミルトニアンと同時固有状態を作るとする
。
このときに、一般に縮退が存在することが証明出来る。
これを真っ向から挑む場合に、必要十分であることを言うのはなかなかしんどい気がする。ホワンとした証明しか思いつかん。
これは背理法を使うと結構スッキリ話を持って行けて気持ちいい。
背理法として、縮退が無いとまず仮定する。あるエネルギー固有状態を
の固有値
でラベル付けるか、
の固有値
でラベル付けるか好きな方を選択出来るが、
の前提条件により
と
を一つの状態に同時に指定することは出来ない。しかし、今の仮定では縮退が無いため、
である。これは次の式で見るように、に抵触している。
よって、縮退が無いという仮定が誤りであり、実際には縮退していることが言える。
これの具体例で良さそうだなぁと思ったのが点群で、例えばを考えて、
、
と対応付けられて、図を描くとわかるが、
、
（鏡映面の異なる鏡映操作）となり、交換しない。加えて、系が
に属していればハミルトニアンは
の対称操作に対して変わらない。よって、エネルギー固有状態は縮退している。
実際、は二次元の既約表現
を持ち、二重に縮退する。もちろん、一次元の全対称既約表現
（どの対称操作に対しても不変）しかないような部分空間を用意するならば、話は別で縮退は無い（この部分空間においては
が成立）。
でもやっぱ点群とかは図が無いと説明が絶望的に伝わらんなぁ。。。でもサクライだと角運動量と
で説明してて、交換しないのがただ数式的な感じがして個人的には縮退のイメージがピンとこなかったんだよなぁ。。。悩ましい。。。
