相互作用表示と摂動展開とDyson級数

q-number（演算子）をハットで表そうとしたらめっちゃズレるので、c-number（演算子じゃない普通の数）は小文字、q-numberは大文字で表すことにする。

$Z = e^{ \alpha ( X + Y ) }$
$O_X ( \alpha ) \equiv e^{ - \alpha X } O e^{ \alpha X }$

とし、

$Z = e^{ \alpha ( X + Y ) } = e^{ \alpha X } F( \alpha )$

と書けるとするならば、 $F( \alpha )$ はどんな形になるか？ということを考える。
多分これを摂動展開と呼んでいる気がする。
ベーカー・ハウスドルフの定理を使えば、

$Z = e^{ \alpha ( X + Y ) } = e^{ \alpha X } e^{ \alpha Y } e^{ - \frac{1}{2} \alpha^2 [ X, Y ] }$
$F( \alpha ) = e^{ \alpha Y } e^{ - \frac{1}{2} \alpha^2 [ X, Y ] }$
追記：この展開は $[ X, Y ]$ が定数の時のみ許される。一般にはこの形は近似形でしかない。ネットに落ちてたこのpdfが丁寧。
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~akio.tomiya/filebox/Campbell-Baker-Hausdorff.pdf
修正：符号と指数を修正。

と、簡単に求まったように見えるかもしれないが、実際に計算しようとすると指数を級数展開しなきゃいけなかったり、そもそも交換子 $[ X, Y$ ]が求まらないとどうしようもなかったりして、解析的に計算出来る時以外は結構不便。

交換子を出現させずに何か表式が得られるといいなぁというノリで何か方法ないか考える。
それでその取っ掛かりとして $Z$ を $\alpha$ で微分すると、定義から2パターンの形が得られる。

$\frac{ \partial Z }{ \partial \alpha } = ( X + Y ) e^{ \alpha ( X + Y ) } = ( X + Y ) e^{ \alpha X } F( \alpha )$
$\frac{ \partial Z }{ \partial \alpha } = [ \frac{ \partial }{ \partial \alpha } e^{ \alpha X } ] F( \alpha ) + e^{ \alpha X } \frac{ \partial F }{ \partial \alpha } = X e^{ \alpha X } F( \alpha ) + e^{ \alpha X } \frac{ \partial F( \alpha ) } { \partial \alpha }$

したがって、

$Y e^{ \alpha X } F( \alpha ) = e^{ \alpha X } \frac{ \partial F } { \partial \alpha }$
$\frac{ \partial F } { \partial \alpha } = e^{ - \alpha X } Y e^{ \alpha X } F( \alpha ) = Y_X (\alpha) F( \alpha )$