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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単振動方程式に対するGreen関数(コーシーの主値積分ver.)

一次元の単振動の微分方程式に対するGreen関数を求めてみる。

\displaystyle
\left( \frac{ d^2 }{ dt^2 } + \omega_0^2 \right) G( t, t' ) = \delta( t - t' )
  \rightarrow \left( \frac{ d^2 }{ d\tau^2 } + \omega_0^2 \right) G( \tau, 0 ) = \delta( \tau )
\\
\displaystyle
\delta( \tau ) = \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } e^{ i \omega \tau }
\\
\displaystyle
G( \tau ) \equiv G( \tau, 0 )
  = \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } G( \omega )e^{ i \omega \tau }
\\
\displaystyle
\int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( \omega_0^2- \omega^2 \right) G( \omega ) e^{ i \omega \tau }
  = \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } e^{ i \omega \tau }
\\
\displaystyle
\int d\tau \, e^{ - i \omega_1 \tau } \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left(  \omega_0^2- \omega^2 \right) G( \omega ) e^{ i \omega \tau }
  = \int d\tau \, e^{ - i \omega_1 \tau } \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } e^{ i \omega \tau }
\\
\displaystyle
\int d \omega \, \left(  \omega_0^2- \omega^2 \right)G( \omega ) \delta( \omega - \omega_1 )
  = \int d \omega \, \delta( \omega - \omega_1 )
\\
\displaystyle
  \left(  \omega_0^2- \omega_1^2 \right) G( \omega_1 ) = 1
\\
\displaystyle
\therefore
G( \omega ) = - \frac{ 1 }{ \omega^2 - \omega_0^2 }

したがって、計算するべき積分は、

\displaystyle
G( \tau ) \equiv G( \tau, 0 )
  = \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
  = \int \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ ( \omega + \omega_0 ) ( \omega - \omega_0 ) } \right)

時間が正か負かで積分経路が変わるので、以下場合分けで考える。

  •  \tau > 0

フーリエ積分複素平面に拡張すれば、

\displaystyle
\oint \frac{ d z }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i z \tau } }{ z^2 - \omega_0^2 } \right)
\\
\displaystyle
  = P \int^\infty_{-\infty} \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{0}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } - \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{0}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } + \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } + 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{R \rightarrow \infty}
  \int^{\pi}_{0} \frac{ i R e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i R e^{ i \theta } \tau } }{ R^2 e^{ 2 i \theta } - \omega_0^2 } \right)

今、実軸上の極を全て避けるように積分経路を取ったので、

\displaystyle
\oint \frac{ d z }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i z \tau } }{ z^2 - \omega_0^2 } \right)
  = 0

極がギリギリ積分経路内に入らないような円弧を使って避ける。
極は二つあるので、それぞれ避ける。

\displaystyle
\lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{0}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta } d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } - \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  = \lim_{\eta \rightarrow 0}
  i \int^{0}_{\pi} \frac{ d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } - \omega_0 \right) \tau } }{ \left( \eta e^{ i \theta } - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  =
  i \int^{0}_{\pi} \frac{ d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ - i \omega_0 \tau } }{ \left( - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  = - \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ - i \omega_0 \tau }

二つ目。

\displaystyle
\lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{0}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta } d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } + \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } + 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  =
  i \int^{0}_{\pi} \frac{ d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \omega_0 \tau } }{ \left( 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  = \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ i \omega_0 \tau }

Jordanの補助定理により、この大円弧の積分はゼロになる。

\displaystyle
\lim_{R \rightarrow \infty}
  \int^{\pi}_{0} \frac{ i R e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i R e^{ i \theta } \tau } }{ R^2 e^{ 2 i \theta } - \omega_0^2 } \right)
  = 0

したがって、

\displaystyle
\therefore
0 =
  P \int^\infty_{-\infty} \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
  - i \frac{ e^{ - i \omega_0 \tau } }{ 4 \omega_0 } + i \frac{ e^{ i \omega_0 \tau } }{ 4 \omega_0 }
\\
\displaystyle
G( \tau )
  = P \int^\infty_{-\infty} \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
  =  - \frac{ i }{ 4 \omega_0 } \left( e^{ i \omega_0 \tau } - e^{ - i \omega_0 \tau } \right)
  =  \frac{ \sin( \omega_0 \tau ) }{ 2 \omega_0 }

  •  \tau < 0

積分経路の取り方が逆になるため、(結果には多分効かないが)符号に注意。
今回も、積分経路内に極は入れないようにする。

\displaystyle
  - \oint \frac{ d z }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i z \tau } }{ z^2 - \omega_0^2 } \right)
\\
\displaystyle
  = P \int^\infty_{-\infty} \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{\pi}_{2\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } - \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{\pi}_{2\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } + \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } + 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
\quad + \lim_{R \rightarrow \infty}
  \int^{\pi}_{2\pi} \frac{ i R e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i R e^{ i \theta } \tau } }{ R^2 e^{ 2 i \theta } - \omega_0^2 } \right)

極が含まれないのでゼロ

\displaystyle
  - \oint \frac{ d z }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i z \tau } }{ z^2 - \omega_0^2 } \right) = 0

大円弧もゼロ。

\displaystyle
\lim_{R \rightarrow \infty}
  \int^{\pi}_{2\pi} \frac{ i R e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i R e^{ i \theta } \tau } }{ R^2 e^{ 2 i \theta } - \omega_0^2 } \right)
  = 0

小円弧は有限の値を返す。

\displaystyle
\lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{2\pi}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } - \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  =
  i \int^{2\pi}_{\pi} \frac{ d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ - i \omega_0 \tau } }{ \left( - 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  =
  \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ - i \omega_0 \tau }


\displaystyle
\lim_{\eta \rightarrow 0}
  \int^{2\pi}_{\pi} \frac{ i \eta e^{ i \theta }d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \left( \eta e^{ i \theta } + \omega_0 \right) \tau } }{ \eta e^{ i \theta } \left( \eta e^{ i \theta } + 2 \omega_0 \right) } \right)
\\
\displaystyle
  =
  i \int^{2\pi}_{\pi} \frac{ d \theta }{ 2 \pi }
    \left( - \frac{ e^{ i \omega_0 \tau } }{ 2 \omega_0 } \right)
\\
\displaystyle
  =
  - \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ i \omega_0 \tau }

 \tau >0の時と比較して符号が逆になっていることに注意。
したがって、


\displaystyle
\therefore
0
  = P \int^\infty_{-\infty} \frac{ d \omega }{ 2 \pi } \left( - \frac{ e^{ i \omega \tau } }{ \omega^2 - \omega_0^2 } \right)
  + \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ - i \omega_0 \tau } 
  - \frac{ i }{ 4 \omega_0 } e^{ i \omega_0 \tau } 
\\
\displaystyle
G( \tau )
  = - \frac{ i }{ 4 \omega_0 } \left(  e^{ - i \omega_0 \tau } - e^{ i \omega_0 \tau } \right)
  = \frac{ i }{ 4 \omega_0 } \left( e^{ i \omega_0 \tau } - e^{ - i \omega_0 \tau } \right)
  = - \frac{ \sin( \omega_0 \tau ) }{ 2 \omega_0 }


最終的に、単振動のGreen関数は次のように得られた。

\displaystyle
 G( t - t' ) = {\rm sgn}( t - t' ) \frac{ \sin( \omega_0 ( t - t' ) ) }{ 2 \omega_0 }
このシグネイチャー関数によるGreen関数のトンガリ \delta関数を与える。