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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

CoulombポテンシャルのFourier変換（Poisson方程式経由）

数学 電磁気

Ashcroft-Mermen "Solid State Physics"に準拠する方法で紹介する。

単位の取り方で、 4\piが付いたり付かなかったり等、色々有る。
電磁気量の単位系 - Wikipedia
CGS単位系を選択することで、

  1. 4\piがPoisson方程式に露わに現れる。
  2. \epsilon_0 = 1。

として扱う。

Poisson方程式。
\displaystyle - \nabla^2 \phi( \vec r ) = 4\pi \rho( \vec r )

負の点電荷 \rho( \vec r ) = - e \delta( \vec r) におけるPoisson方程式は、
\displaystyle - \nabla^2 \phi( \vec r ) = - 4\pi e \delta( \vec r )

左辺を逆Fourier変換すれば、
\displaystyle \int \frac{ d \vec k }{ ( 2 \pi )^3} k^2 \tilde \phi( \vec k ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } = - 4\pi e \delta( \vec r )

適当な平面波 e^{ i \vec q \cdot \vec r } を掛けて、 \vec rについて積分すれば、
\displaystyle \int d \vec r \int \frac{ d \vec k }{ ( 2 \pi )^3} k^2 \tilde \phi( \vec k ) e^{ i ( \vec q - \vec k ) \cdot \vec r } = \int d \vec k \, k^2 \tilde \phi( \vec k ) \delta( \vec q - \vec k ) = q^2 \tilde \phi( \vec q ) \\ \displaystyle - 4\pi e \int \vec r \delta( \vec r ) e^{ - i \vec q \cdot \vec r } = - 4\pi e

したがって、
\displaystyle \tilde \phi( \vec q ) = - \frac{ 4 \pi e }{ q^2 }

ここで、静電ポテンシャル V( \vec r ) = - e \phi(\vec r)において、負電荷同士のポテンシャルは V( \vec r ) = e^2 / rであるから、
\displaystyle \phi( \vec r ) = - e / r \\ \displaystyle \therefore \int d \vec r \left( \frac{ 1 }{ r } \right) e^{ i \vec q \cdot \vec r } = \frac{ 4 \pi }{ q^2 }