マクスウェル方程式とゲージ変換

ほぼ自分用の初等的なメモ

マクスウェル－ガウスの式
$\displaystyle \nabla \cdot \epsilon_0 \boldsymbol E = \rho$

磁化保存の式だけ人の名前がついていない。
$\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol B = 0$

ファラデー－マクスウェルの式
$\displaystyle \nabla \times \boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol B }{ \partial t } = 0$

アンペール－マクスウェルの式
$\displaystyle \nabla \times \frac{ \boldsymbol B }{ \mu_0 } - \frac{ \partial \, \epsilon_0 \boldsymbol E }{ \partial t } = \boldsymbol j$

ここから、各ポテンシャルとそれらのゲージ変換不変を導く。

磁化保存の式から
$\displaystyle \boldsymbol B =: \nabla \times \boldsymbol A \\ \displaystyle (\because \nabla \cdot ( \nabla \times \boldsymbol A ) = 0 ) \\ \displaystyle \therefore \boldsymbol A' = \boldsymbol A + \nabla \chi \\ \displaystyle (\because \nabla \times ( \nabla \chi ) = 0 )$

よって、ベクトルポテンシャル $\boldsymbol A$ は変換 $\boldsymbol A \rightarrow \boldsymbol A + \nabla \chi$ に対して磁場を不変に保つ。

次にファラデー－マクスウェルの式より、
$\displaystyle \nabla \times \left( \boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } \right) = 0 \\ \displaystyle \therefore \boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } = - \nabla \phi \\ \displaystyle ( \because \nabla \times (\nabla \phi) = 0 )$
スカラーポテンシャル $\phi$ の負符号は慣習である。
これにより、
$\displaystyle \boldsymbol E = - \nabla \phi - \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t }$
電場 $\boldsymbol E$ を不変に保つようなスカラーポテンシャル $\phi$ の変換を考える。
$\displaystyle \boldsymbol E' = - \nabla \phi' - \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } - \frac{ \partial \nabla \chi }{ \partial t } \\ \displaystyle \therefore \nabla \phi' - \nabla \phi + \frac{ \partial \nabla \chi }{ \partial t } = \nabla \left( \phi' - \phi + \frac{ \partial \chi }{ \partial t } \right) = 0 \\ \displaystyle (\because E - E' = 0 ) \\ \displaystyle \therefore \phi' = \phi - \frac{ \partial \chi }{ \partial t }$

これで、 $\phi$ と $\boldsymbol A$ をゲージ変換も含めて導出することが出来た。
ここだけなら、マクスウェル方程式のうち二つだけで済む。

次に、クーロンゲージとローレンツゲージについてまとめる。

クーロンゲージは「スカラーポテンシャル $\phi$ を電荷 $\rho$ だけで表したい」というものである。
使う式は、マクスウェル－ガウスの式である。
$\displaystyle \nabla \cdot \epsilon_0 \boldsymbol E = \epsilon_0 \left( - \nabla^2 \phi - \frac{ \partial ( \nabla \cdot \boldsymbol A ) }{ \partial t } \right) = \rho$
したがって、 $\nabla \cdot \boldsymbol A = 0$ となるようにゲージ $\chi$ を選べば（ $\nabla^2 \chi = - \nabla \cdot \boldsymbol A$ ）、
$\displaystyle - \nabla^2 \phi = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 }$
のようにスカラーポテンシャルに対するポアソン方程式が得られる。
この、 $\nabla \cdot \boldsymbol A = 0$ のゲージの取り方をクーロンゲージと呼ぶ。

ローレンツゲージは、「（電荷、スカラーポテンシャル）と（電流、ベクトルポテンシャル）の組の対応を明確にしたい」というものである。
使う式は、まだ使っていなかったアンペール－マクスウェルの式である。
$\displaystyle \nabla \times ( \nabla \times \boldsymbol A ) + \epsilon_0 \mu_0 \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right) = \mu_0 \boldsymbol j \\ \displaystyle \nabla \times ( \nabla \times \boldsymbol A ) + \frac{ 1 }{ c^2 } \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right) = \mu_0 \boldsymbol j$
外積の二個掛けは、以下のベクトル解析の公式が知られている。
$\displaystyle \boldsymbol a \times \boldsymbol b \times \boldsymbol c = \boldsymbol b ( \boldsymbol a \cdot \boldsymbol c ) - \boldsymbol c ( \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a ) = ( \boldsymbol a \cdot \boldsymbol c ) \boldsymbol b - ( \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a ) \boldsymbol c$
したがって、
$\displaystyle \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol A ) - \nabla^2 \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right) = \mu_0 \boldsymbol j \\ \displaystyle - \nabla^2 \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } + \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial t } \right) = \mu_0 \boldsymbol j$
ここで、 $\nabla \cdot \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial t } = 0$ となるようにゲージを選ぶのがローレンツゲージである。
ローレンツゲージをとれば、ベクトルポテンシャルに関する波動方程式が得られる。
$\displaystyle \left( \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t^2 } - \nabla^2 \right) \boldsymbol A = \mu_0 \boldsymbol j$
一方、マクスウェル-ガウスの式からは、ローレンツゲージを採用することでスカラーポテンシャルに関する波動方程式が得られる。
$\displaystyle - \nabla^2 \phi - \frac{ \partial (\nabla \cdot \boldsymbol A) }{ \partial t } = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 } \\ \displaystyle \left( \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t } - \nabla^2 \right) \phi = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 }$
このように、対応関係がハッキリとわかる。