nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

自由電子Green関数の部分波展開

Hartree原子単位系


\displaystyle
k = \sqrt{ 2 E }
\\
\displaystyle
J_L( k, {\bf r } ) = i^l \, j_l( k r ) \, Y_L( \hat{\bf r })
\\
\displaystyle
H^{(1)}_L( k, {\bf r } ) = i^l \, h^{(1)}_l( k r ) \, Y_L( \hat{\bf r })
\\
\displaystyle
G^{\pm}( k, {\bf r } - {\bf r }' ) = \mp 2 i k \, \sum_L \, J^*_L( k, {\bf r }_< ) \, H^{(1)}_L( k, {\bf r }_> )

以下、これを証明する。


\displaystyle
H_0 = - \frac{ \nabla^2 }{ 2 }
\\
\displaystyle
\left( \frac{ k^2 }{ 2 } - H_0 \right) G( k, {\bf r } - {\bf r }' ) = \delta( {\bf r } - {\bf r }' )

フーリエ変換を使って、微分方程式を解く。

\displaystyle
G( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = \int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 } \, G( k, {\bf q } ) \, e^{ i { \bf q } \cdot ( {\bf r } - {\bf r }' ) }
\\
\displaystyle
\int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 }
  \left( \frac{ k^2 }{ 2 } - \frac{ q^2 }{ 2 } \right) G( k, {\bf q } ) e^{ i { \bf q } \cdot ( {\bf r } - {\bf r }' ) }
  = \int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 } e^{ i { \bf q } \cdot ( {\bf r } - {\bf r }' ) }
\\
\displaystyle
\left( \frac{ k^2 }{ 2 } - \frac{ q^2 }{ 2 } \right) G( k, {\bf q } ) = 1
\\
\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf q } ) = 2 \, \frac{ 1 }{ k^2  - q^2 \pm i \eta }
  \quad ( \eta \rightarrow 0^+ )
\\
\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = 2 \, \int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ e^{ i { \bf q } \cdot ( {\bf r } - {\bf r }' ) } }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \, 
  = 2 \, \int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ e^{ i { \bf q } \cdot {\bf r } } e^{ - i { \bf q } \cdot {\bf r }' } }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \,

平面波の角運動量展開

\displaystyle
e^{ i {\bf k} \cdot {\bf r} }
  = 4 \pi \sum_L J_L( k, {\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} ) 
\\
\displaystyle
\left(
\frac{ 1 }{ ( 2 \pi )^{3/2} }e^{ i {\bf k} \cdot {\bf r} }
  = \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L J_L( k, {\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} ) 
 \right)


\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = 2 \, \int \frac{ d {\bf q} }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \, \sum_L \sum_{L'} J_L( q, {\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf q} ) J^*_{L'}( q, {\bf r}' ) Y_{L'}( \hat{\bf q} )
\\
\displaystyle
  = 2 \, \int^{\infty}_0 \frac{ q^2 \, dq }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \, \sum_L \sum_{L'} J_L( q, {\bf r} ) J^*_{L'}( q, {\bf r}' ) \int d \hat{\bf q} Y^*_L( \hat{\bf q} ) Y_{L'}( \hat{\bf q} )
\\
\displaystyle
  = 2 \, \int^{\infty}_0 \frac{ q^2 \, dq }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \, \sum_L J_L( q, {\bf r} ) J^*_{L}( q, {\bf r}' )

パリティ対称性  j_l( - \rho ) = (-1)^l j_l( \rho ) より、被積分関数 qに対して偶関数。よって、

\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = \int^{\infty}_{-\infty} \frac{ q^2 \, dq }{ ( 2 \pi )^3 } \, \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ k^2  - q^2 \pm i \eta } \, \sum_L J_L( q, {\bf r} ) J^*_{L}( q, {\bf r}' )

球ベッセル関数は特異点を持たないので、分母にのみ特異性がある。
これを利用して、留数定理を用いて積分を計算する(そのために積分区間を広げた)。
分母の qに対する極は、

\displaystyle
k^2 - q^2 \pm i \eta = - ( q^2 - ( k^2 \pm i \eta ) )= - \left( q^2 - \sqrt{ k^4 + \eta^2 }e^{ \pm i \theta } \right) = - \left( q^2 - k^2 e^{ \pm i \theta } \right)
\\
\displaystyle
  = - \left( q + k e^{ \pm i \theta / 2 } \right) \left( q - k e^{ \pm i \theta / 2 } \right)
\\
\displaystyle
  = - \left( q + ( k  \pm i \eta ) \right) \left( q - ( k \pm i \eta ) \right) 
\\
\displaystyle
  = - \left( q - ( - k  \mp i \eta ) \right) \left( q - ( k \pm i \eta ) \right) 
\\
\displaystyle
\left( \theta = \tan^{-1}( \eta / k^2 ) > 0 \right)

ややこしいが、結局は以下の通りである。

  •  G^{+} :  q^{\uparrow} = k;  q^{\downarrow} = -k
  •  G^{-} :  q^{\uparrow} = -k;  q^{\downarrow} = k


Jordanの補助定理を使うことを見越して、無限遠  \rho \rightarrow \infty における各関数の漸近系をまとめておくと、

\displaystyle
j_l( \rho ) = \frac{ 1 }{ 2 } \left( h^{(1)}_l( \rho ) + h^{(2)}_l( \rho ) \right) 
\\
\displaystyle
h^{(1)}_l( \rho ) \rightarrow  \frac{ 1 }{ i \rho } e^{ i ( \rho - l \pi /2 ) }
\\
\displaystyle
h^{(2)}_l( \rho ) \rightarrow  - \frac{ 1 }{ i \rho } e^{ - i ( \rho - l \pi /2 ) }

以下、多少恣意的にバラす。

\displaystyle
j_l( q r ) j_l( q r' ) = \frac{ 1 }{ 2 } \, j_l( q r )  \left( h^{(1)}_l( q r' ) + h^{(2)}_l( q r' ) \right)
\\
\rightarrow \frac{ 1 }{ 4 i q^2 r r' } \left( \left( e^{ i q ( r + r' ) } e^{ - i l \pi } - e^{ i q ( - r + r' ) } \right) + \left( - e^{ i q ( r - r' ) } + e^{ i q ( - r - r' ) } e^{ - i l \pi } \right) \right)

指数関数の肩に着目し、  r < r' を仮定すると、

  •  j_l( q r ) h^{(1)}_l( q r' ) :上半面で指数関数的に減少。
  •  j_l( q r ) h^{(2)}_l( q r' ) :下半面で指数関数的に減少。

したがって、上半面と下半面に分けて積分を行う。
下半面で積分路を取る時に、左回りにするために \infty \rightarrow -\inftyと変更する必要があることから、マイナスが出てくることに注意。


\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = \frac{1}{2} \frac{ ( 4\pi )^2 }{ ( 2 \pi )^3 } \sum_L Y_{L}( \hat{\bf r} ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' ) \, \int^{\infty}_{-\infty} \, \frac{ dq \, q^2 \,   j_l( q r ) \left( h^{(1)}_l( q r' ) +  h^{(2)}_l( q r' ) \right) }{ - ( q - ( - k  \mp i \eta ) ) ( q - ( k \pm i \eta ) ) }
\\
\displaystyle
  = \frac{1}{2} \frac{ ( 4\pi )^2 }{ ( 2 \pi )^3 } \sum_L Y_{L}( \hat{\bf r} ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' ) \, 
\left( 
  \oint_{\uparrow} \, \frac{ dq \, q^2 \, j_l( q r ) h^{(1)}_l( q r' ) }{ - ( q - ( - k  \mp i \eta ) ) ( q - ( k \pm i \eta ) ) }
  - \oint_{\downarrow} \, \frac{ dq \, q^2 \,   j_l( q r ) h^{(2)}_l( q r' ) }{ - ( q - ( - k  \mp i \eta ) ) ( q - ( k \pm i \eta ) ) }
\right)
\\
\displaystyle
  = \frac{1}{2} \frac{ ( 4\pi )^2 }{ ( 2 \pi )^3 } \sum_L Y_{L}( \hat{\bf r} ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' ) \, 
2 \pi i \left( 
  \frac{ k^2 \, j_l( k r ) h^{(1)}_l( k r' ) }{ \mp 2 k }
  - \frac{ ( -k )^2 \,   j_l( - k r ) h^{(2)}_l( - k r' ) }{ \pm 2 k }
\right)

 h^{(2)}_l( - \rho ) = (-1)^l h^{(1)}_l( \rho ) より、


\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )
  = \frac{1}{2} \frac{ ( 4\pi )^2 }{ ( 2 \pi )^3 } \sum_L Y_{L}( \hat{\bf r} ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' ) \, 
2 \pi i \left(
  \frac{ k^2 \, j_l( k r ) h^{(1)}_l( k r' ) }{ \mp 2 k }
  - \frac{ k^2 \,   j_l( k r ) h^{(1)}_l( k r' ) }{ \pm 2 k }
\right)
\\
\displaystyle
  = \frac{1}{2} \frac{ ( 4\pi )^2 }{ ( 2 \pi )^3 } \sum_L Y_{L}( \hat{\bf r} ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' ) \, 
2 \pi i \left(
  \mp k \, j_l( k r ) h^{(1)}_l( k r' )
\right)
\\
\displaystyle
  = \mp 2 i k \sum_L j_l( k r ) Y_{L}( \hat{\bf r} ) h^{(1)}_l( k r' ) Y^*_{L}( \hat{\bf r}' )
\\
\displaystyle
  = \mp 2 i k \sum_L j_l( k r ) Y^*_{\bar{L}}( \hat{\bf r} ) h^{(1)}_l( k r' ) Y_{ \bar{L}}( \hat{\bf r}' )
\\
\displaystyle
  = \mp 2 i k \sum_{\bar{L}} j_l( k r ) Y^*_{\bar{L}}( \hat{\bf r} ) h^{(1)}_l( k r' ) Y_{ \bar{L}}( \hat{\bf r}' )
\\
\displaystyle
  = \mp 2 i k \sum_{L} j_l( k r ) Y^*_{L}( \hat{\bf r} ) h^{(1)}_l( k r' ) Y_{ L }( \hat{\bf r}' )
\\
\displaystyle 
  = \mp 2 i k \sum_L J^*_L( k, {\bf r} ) H^{(1)}_L( k, {\bf r}' )
 Lの和を取っていることと、 mに依存するのが Y_Lしかいないため、 L \rightarrow \bar{L}の置き換えが可能。


 r > r' の場合は、 j_l( q r ) j_l( q r' ) より、明らかに  r \leftrightarrow r' の交換が可能であるから、 r < r' の場合と同じ結果が得られる。


したがって、


\displaystyle
G^{ \pm }( k, {\bf r } - {\bf r }' )  = \mp 2 i k \sum_L J^*_L( k, {\bf r}_< ) H^{(1)}_L( k, {\bf r}_> )