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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Gaunt積分のまとめ

数学 量子力学

Gaunt積分の自分的メモ。
Clebsch–Gordan coefficients - Wikipedia
3-j symbol - Wikipedia

Gaunt積分（多分一般的な呼び名ではない。が、自分の分野ではよく出てくる。）
\displaystyle \begin{align} & \int d\hat{\bf r} \, Y^*_{ l_3 m_3 }(\hat{\bf r}) Y_{ l_1 m_1 }(\hat{\bf r}) Y_{ l_2 m_2 }(\hat{\bf r}) \\ & \quad = \sqrt{ \frac{ (2 l_1 + 1 ) ( 2 l_2 + 1 ) }{ 4 \pi ( 2 l_3 + 1 ) } } < l_1,0;l_2,0|l_3,0 > < l_1,m_1;l_2,m_2|l_3,m_3 > \\ & \quad = (-1)^{ m_3 } \sqrt{ \frac{ (2 l_1 + 1 ) ( 2 l_2 + 1 ) ( 2 l_3 + 1 ) }{ 4 \pi } } \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & - m_3 \end{array} \right) \end{align}

Gaunt係数（Wikipediaとかに載っているのはこっち。）
\displaystyle \begin{align} & \int d\hat{\bf r} \, Y_{ l_1 m_1 }(\hat{\bf r}) Y_{ l_2 m_2 }(\hat{\bf r}) Y_{ l_3 m_3 }(\hat{\bf r}) \\ & \quad = \sqrt{ \frac{ (2 l_1 + 1 ) ( 2 l_2 + 1 ) ( 2 l_3 + 1 ) }{ 4 \pi } } \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{array} \right) \end{align}

Clebsh-Gordan係数と3j記号の関係
\displaystyle \begin{align} < l_1,m_1;l_2,m_2|l_3,m_3 > = (-1)^{ l_1 - l_2 } (-1)^{ m_3 } \sqrt{ 2 l_3 + 1 } \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & - m_3 \end{array} \right) \end{align}

3j記号の列の交換
\displaystyle \begin{align} \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{array} \right) &= (-1)^{ l_1 + l_2 + l_3 } \left( \begin{array}{ccc} l_2 & l_1 & l_3 \\ m_2 & m_1 & m_3 \end{array} \right) \\ &= (-1)^{ l_1 + l_2 + l_3 } \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_3 & l_2 \\ m_1 & m_3 & m_2 \end{array} \right) \end{align}