二準位系での自己エネルギー

自己エネルギーがずっとわかったようでわからなかったので、二準位系で求めて見た。

ハミルトニアンを次のように定義する。
$\displaystyle H = \varepsilon_1 n_1 + \varepsilon_2 n_2 + \left( v a_1^\dagger a_2 + v^* a_2^\dagger a_1 \right) \\ \displaystyle n_i = a_i^\dagger a_i$

次に、射影演算子を次のように定義する。
$\displaystyle P_i = | i \rangle \langle i | \quad ( \langle i | i \rangle = 1, \, \langle i | j (\neq i) \rangle = 0 ) \\ \displaystyle Q_i = 1 - P_i \quad (\therefore P_i Q_i = 0 ) \\ \displaystyle \sum_i P_i = P_1 + P_2 = 1$

これらを基に、Green関数を次のように定義する。
$\displaystyle G = \frac{ 1 }{ E - H + i\eta } \quad (\eta \rightarrow 0+ ) \\ \displaystyle g_d = \frac{ 1 }{ E - H_d + i\eta }$

今の場合、 $g_d$ は非摂動Green関数に対応する。
$G$ は $g_d$ を用いて次のように展開出来る。
$\displaystyle G = g_d + g_d H_n g_d + g_d H_n g_d H_n g_d + \cdots$

ここで、 $G$ を射影演算子を用いて分解することを考える。
$\displaystyle G = G_d + G_n \\ \displaystyle G_d = P_1 G P_1 + Q_1 G Q_1 \\ \displaystyle G_n = P_1 G Q_1 + Q_1 G P_1$

$P_i g_d Q_i= Q_i g_d P_i = 0$ および $P_i H_n P_i= Q_i H_n Q_i = 0$ より、
$\displaystyle P_i G P_i = P_i G_d P_i \\ \displaystyle \quad = P_i g_d P_i + P_i g_d P_i H_n P_i g_d P_i + P_i g_d P_i H_n Q_i g_d Q_i H_n P_i g_d P_i+ \cdots \\ \displaystyle \quad = P_i g_d P_i + P_i g_d P_i H_n Q_i g_d Q_i H_n P_i g_d P_i+ \cdots \\ \displaystyle \quad = P_i g_d P_i + P_i g_d \Sigma g_d P_i+ \cdots$

したがって、（既約）自己エネルギー $\Sigma$ および $G_d$ は
$\displaystyle \Sigma = H_n g_d H_n \\ \displaystyle G_d = \frac{ 1 }{ E - H_d - \Sigma + i \eta }$
と得られる。

今の二準位の場合、具体的には、
$\displaystyle \langle i | \Sigma | i \rangle = \langle i | H_n Q_i g_d Q_i H_n | i \rangle = v \frac{ 1 }{ E - E_{j(\neq i)} + i\eta } v^*$
と表せる。

$G$ から「状態1」に対応する状態密度 $\rho_1( E )$ を求めて見れば、
$\displaystyle \rho_1( E ) = - \frac{1}{\pi} \Im \langle 1 | G | 1 \rangle = - \frac{1}{\pi} \Im \langle 1 | G_d | 1 \rangle \\ \displaystyle \quad = - \frac{1}{\pi} \Im \frac{ 1 }{ E - E_1 - \frac{ |v|^2 }{ E - E_2 + i \eta } + i\eta } \\ \displaystyle \quad = \delta\left( E - E_1 - \frac{ |v|^2 }{ E - E_2 }\right)$