第二量子化と場の演算子と波動関数

以前、第二量子化についての記事を書いたが、誤って消してしまったので、再度投稿。

任意の波動関数 $\psi(x)$ を、基底関数 $u( x )$ で展開し、その展開係数を $c$ とする。
これに対応する場の演算子 $\hat{ \psi }(x)$ は、消滅演算子 $\hat{ a }$ を用いて、次のように書ける。

$\displaystyle \psi( x ) = \sum_{ \alpha } u_{ \alpha }( x ) \, c_{ \alpha } \\ \displaystyle \hat{ \psi }( x ) = \sum_{ \alpha } u_{ \alpha }( x ) \, \hat{ a }_{ \alpha }$

したがって、第二量子化は展開係数を量子化したものと言える。

基底関数 $u(x)$ は完備性により次の関係を満たす。

$\displaystyle \sum_{ \alpha } u^*_{ \alpha }( x' ) u_{ \alpha }( x ) = \sum_{ \alpha } < \alpha | x' > < x | \alpha > = \sum_{ \alpha } < x | \alpha >< \alpha | x' > \\ \displaystyle = < x | x' > = \delta( x - x' )$

これを用いて、場の演算子 $\hat{\psi}^{\dagger}(x')$ を真空状態 $|>$ に作用させた波動関数を考えると、
$\displaystyle < x | \hat{ \psi }^{\dagger}( x' ) |> = < x | \sum_{ \alpha } u^*_{ \alpha }( x' ) \, \hat{ a }^{\dagger}_{ \alpha } |> \\ \displaystyle = \sum_{ \alpha } u^*_{ \alpha }( x' ) < x | \alpha > = \sum_{ \alpha } u^*_{ \alpha }( x' ) u_{ \alpha }( x ) = \delta( x - x' )$