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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

力学的相似(ビリアル定理)。

(系の)ビリアルとは以下の量のことを呼ぶ(らしい)。

\displaystyle
B \equiv \left\langle \sum_a \vec r_a \cdot \frac{ \partial U }{ \partial \vec r_a } \right\rangle

古典(質点)力学においては、変数は時間であるため、これは時間平均量として解釈出来る。

\displaystyle
\left\langle f \right\rangle = \lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{ 1 }{ \tau } \int^\tau_0 dt\, f( t )

ビリアル定理とは、

  1. ポテンシャルエネルギー Uが座標 \vec rの同次関数
  2. 系の運動が有限領域内に限られている

場合に成り立つ、運動エネルギー Tとポテンシャルエネルギー Uの関係であり、次の形で与えられる。

\displaystyle
2 \left\langle T \right\rangle = k \left\langle U \right\rangle
\quad
( U( \alpha \vec r ) = \alpha^k U( \vec r ) )

例えば、クーロンポテンシャルでは k = -1であるため、

\displaystyle
2 \left\langle T \right\rangle = - \left\langle U \right\rangle
\\
\displaystyle
\left\langle T \right\rangle = - E
\quad ( \left\langle T \right\rangle + \left\langle U \right\rangle = \left\langle E \right\rangle = E )
という関係があることが分かる。
逆にこれを利用することで、例えばオリジナルのポテンシャルでは解きにくいから近似を入れるような時に、「ビリアル定理をなるべく破らないように近似を入れる」という指針を立てることが出来る。

以下、ビリアル定理を証明する。

運動エネルギー Tは、速度 vに対して二次の同次関数であるため、同次関数に対するオイラーの定理が成り立つ。

\displaystyle
\sum_a \vec v_a \cdot \frac{ \partial T }{ \partial \vec v_a } = 2 T

確認しておくと、

\displaystyle
\sum_a \vec v_a \cdot \frac{ \partial T }{ \partial \vec v_a }
  = \sum_a \vec v_a \cdot \frac{ \partial }{ \partial \vec v_a } \left( \frac{1}{2} m v_a^2 \right)
  = \sum_a m v_a^2
  = 2 T
\\
\displaystyle
\left( \frac{ \partial }{ \partial \vec v } \equiv \left( \frac{ \partial }{ \partial v_x }, \frac{ \partial }{ \partial v_y }, \frac{ \partial }{ \partial v_z} \right) \right)

同様に、ポテンシャル Uが位置 rに対して k次の同次関数である条件の下では、

\displaystyle
\sum_a \vec r_a \cdot \frac{ \partial U }{ \partial \vec r_a } = k \, U
\\
\therefore B = k \left\langle U \right\rangle
と表される。

ここからは、上手い式変形を使って、 T Uが繋がるところを見る。
運動量 \vec p = m \vec vを用いれば

\displaystyle
2T = \sum_a \vec p_a \cdot \vec v_a
  = \sum_a \vec p_a \cdot \frac{ d \vec r_a }{ d t }
  = \frac{ d }{ d t } \left( \sum_a \vec p_a \cdot \vec r_a \right) - \sum_a \left( \frac{ d \vec p_a }{ d t } \right) \cdot \vec r_a
\\
\displaystyle
\qquad
  = \frac{ d }{ d t } \left( \sum_a \vec p_a \cdot \vec r_a \right) + \sum_a \left( \frac{ \partial U }{ \partial \vec r_a } \right) \cdot \vec r_a
\\
\displaystyle
\because
\frac{ d \vec p }{ d t } = - \frac{ \partial U }{ \partial \vec r }
最後の式変形には、運動方程式を用いている。

一応、もう一度まとめておくと、

\displaystyle
2T = \frac{ d }{ d t } \left( \sum_a \vec p_a \cdot \vec r_a \right) + \sum_a \left( \frac{ \partial U }{ \partial \vec r_a } \right) \cdot \vec r_a
ここまでは厳密に成り立つ。 Uが同次関数であることも、有限領域の運動であることも使っていない。

 Uが同次関数であれば、

\displaystyle
2T = \frac{ d }{ d t } \left( \sum_a \vec p_a \cdot \vec r_a \right) + k U
と簡単になる。

更に、運動が有限領域に限られる場合、(時間)平均を取ると、

\displaystyle
2\left\langle T \right\rangle
  = \lim_{\tau \rightarrow \infty } \frac{ 1 }{ \tau } \sum_a \left( \vec p_a( \tau ) \cdot \vec r_a( \tau ) -  \vec p_a( 0 ) \cdot \vec r_a( 0 ) \right) + k \langle U \rangle
\\
\displaystyle
\qquad
  = k \langle U \rangle = B
\\
\displaystyle
\because
\vec p_a( \tau ) \cdot \vec r_a( \tau ) -  \vec p_a( 0 ) \cdot \vec r_a( 0 ) \ll \infty
よってビリアル定理が得られた。

参考文献:ランダウ=リフシッツ(力学)