特殊相対論の計量テンソルと4元ベクトルの内積

計量テンソル $g_{ \mu \nu }$ を以下のように定義。

$\displaystyle \begin{align} g_{ \mu \nu } = \left\{ \begin{array}{rl} 1, & \mu = \nu = 0 \\ -1, & \mu = \nu = 1,2,3 \\ 0, & \mu \neq \nu \end{array} \right. \end{align}$

それで以下の4元ベクトルの内積が、ローレンツ変換で不変であることが特殊相対論の特徴であった。

$\displaystyle \begin{align} g_{ \mu \nu } x'{}^\mu x'{}^\nu = g_{ \mu \nu } x^\mu x^\nu \end{align}$

で、これはアインシュタインの規約を用いているから実際には和である。
しかし、頭ではわかっているのだが、心がどうも胡散臭く感じているので、全部展開してみた、というのがこの記事の目的。

$\begin{align} g_{ \mu \nu } x^\mu x^\nu = g_{ 0 0 } x^0 x^0 + g_{ 1 0 } x^1 x^0 + g_{ 2 0 } x^2 x^0 + g_{ 3 0 } x^3 x^0 \\ + g_{ 0 1 } x^0 x^1 + g_{ 1 1 } x^1 x^1 + g_{ 2 1 } x^2 x^1 + g_{ 3 1 } x^3 x^1 \\ + g_{ 0 2 } x^0 x^2 + g_{ 1 2 } x^1 x^2 + g_{ 2 2 } x^2 x^2 + g_{ 3 2 } x^3 x^2 \\ + g_{ 0 3 } x^0 x^3 + g_{ 1 3 } x^1 x^3 + g_{ 2 3 } x^2 x^3 + g_{ 3 3 } x^3 x^3 \\ = g_{ 0 0 } x^0 x^0 + g_{ 1 1 } x^1 x^1 + g_{ 2 2 } x^2 x^2 + g_{ 3 3 } x^3 x^3 \\ = x^0 x^0 - x^1 x^1 - x^2 x^2 - x^3 x^3 \\ = (ct)^2 - (x)^2 - (y)^2 -(z)^2 \end{align}$