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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

等速円運動の曲率半径

  • 自然座標

 \vec r(t)が描く軌道上の点 \vec r(t_0=0)を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿った \vec r(t_1)までの距離を s(t_1)とおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離 sは時間 tの関数 s(t)で表せる。
これを推し進め、 \vec r(t) = \vec r_s( s( t ) )と変換すれば、軌道は sの変数としてみなすことが出来る。

この表現を用いて、速度を表すことを考える。

\displaystyle
\vec v = \frac{ d \vec r }{ d t } = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t }
ここで、

\displaystyle
\frac{ d \vec r_s }{ d s } = \lim_{\Delta s \rightarrow0} \frac{ \vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s ) }{ \Delta s }
  |\vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s )| は二点間の直線距離、 \Delta sはその二点間の軌道上の距離であるが、微小極限 \Delta s \rightarrow 0では両者は一致するから、 \frac{ d \vec r_s }{ d s } は単位ベクトル \left| \frac{ d \vec r_s }{ d s } \right| = 1 であることがわかる。 \frac{ d \vec r_s }{ d s } の方向は、点 sにおける軌道の接線方向に一致する。
 \frac{ d \vec r_s }{ d s } が単位ベクトルであるから、 \frac{ d s }{ d t }はそのまま速度の大きさに一致する。
まとめると

\displaystyle
\vec v = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = v \vec t
\\
\displaystyle
\vec t \equiv \frac{ d \vec r_s }{ d s }, \quad |\vec t| = 1
\\
\displaystyle
v \equiv |\vec v| = \frac{ d s }{ d t }

次に加速度を求める。

\displaystyle
\vec a = \frac{ d \vec v }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v \frac{ d \vec t }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s }
 \vec tが単位ベクトルであるため、 sの微小変化に対する \vec tの変化は微小回転に対応する。この \vec tの微小回転は、回転中心を頂角に持つ二等辺三角形で図示され、底辺の長さが \vec tの変化量に対応する。微小回転においては、二等辺三角形の底辺と円弧は等しいため、底辺以外の長さは |\vec t| = 1であるから、 |\Delta \vec t| = 1 \cdot \Delta \phi = \Delta \phiと書ける。 \Delta \phiは微小回転角である。
これによって、 \left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right| は長さの逆数の次元を持つことが分かる。

\displaystyle
\left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right| = \frac{d \phi}{ d s } \equiv \frac{1}{\rho}
 \rhoを曲率半径と呼ぶ。後で、等速円運動において半径に一致することを示す。
 \frac{ d \vec t }{ d s } は微小回転運動を表すため、その向きは \vec tに対して垂直である。接線に垂直な線分を法線と呼ぶため、 \frac{ d \vec t }{ d s } は法線ベクトルに平行と言える。
まとめると、

\displaystyle
\vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s } \equiv \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n
\\
\displaystyle
  |\vec n| = 1, \quad \vec t \cdot \vec n = 0

  • 等速円運動

等速円運動を直観的に表すと、

\displaystyle
\vec r( t ) = ( r( t ) \cos( \theta( t ) ), r( t ) \sin( \theta( t ) ) ) = r( t ) \vec e_r( t )
\\
\displaystyle
\vec e_r( t ) = ( \cos( \theta( t ) ), \sin( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_r( t ) | = 1
\\
\displaystyle
r( t ) = a, \quad \theta( t ) = \omega t + \alpha

ここから、速度と加速度が求まる。

\displaystyle
\vec v( t ) = \frac{ d r }{ d t } \vec e_r + r \frac{ d \vec e_r }{d t} = a \omega ( -\sin\theta, \cos\theta ) \equiv a \omega \vec e_\theta
\\
\displaystyle
\vec e_\theta( t ) = ( - \sin( \theta( t ) ), \cos( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_\theta( t ) | = 1, \quad \vec e_r \cdot \vec e_\theta = 0
\\
\displaystyle
\vec a( t ) = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r

これを自然座標の結果と比較する。

\displaystyle
\vec a = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r
\\
\displaystyle
\vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n
等速円運動において、速度のノルムは v = a \omegaで変化しないから \frac{ d v }{ d t } = 0。円運動の法線は回転中心に向かっているから、 \vec n = - \vec e_r
よって、

\displaystyle
a \omega^2 = \frac{ (a \omega)^2 }{ \rho } \Leftrightarrow \rho = a

円運動における曲率半径が厳密に半径に一致することが示せた。
つまり、曲率半径は、軌道上のある点を円運動と見なした時に対応する円の半径を表している。
直線であれば無限に大きいし、急に曲がっていたら有限の小さい値になることが、ここから理解できる。