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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

定数ポテンシャルを与える球対称電子密度について。

数学 固体物理 電磁気

Poisson方程式の解は、
\displaystyle V( \vec r ) = \int d\vec r' \, \frac{ \rho ( \vec r' ) }{ | \vec r - \vec r' | }
と書ける（原子単位系）。

多重極子展開および角運動量展開を利用すると、
\displaystyle V( \vec r ) = \sum_L \frac{ 4\pi }{ 2 l + 1 } \int d\vec r' \, \frac{ r_<^l }{ r_>^{l+1} } Y_L( \hat r ) Y_L^*( \hat r' ) \rho ( \vec r' ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_L \frac{ 4\pi }{ 2 l + 1 } Y_L( \hat r ) \int d\vec r' \, \frac{ r_<^l }{ r_>^{l+1} } Y_L^*( \hat r' ) \sum_{L'} \rho_{l'} ( r' ) Y_{L'}( \hat r' ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_L \frac{ 4\pi }{ 2 l + 1 } Y_L( \hat r ) \int^\infty_0 dr' \, r'^2 \frac{ r_<^l }{ r_>^{l+1} } \, \rho_{l} ( r' )

ここで、元々 \rho( \vec r ) = \rho( r ) の時、
\displaystyle \rho( r ) = \rho_0( r ) Y_{00} = \frac{ \rho_0( r ) }{ \sqrt{ 4 \pi } } \\ \displaystyle \therefore \rho_0( r ) = \sqrt{ 4 \pi } \rho( r )

\displaystyle V( r ) = 4\pi \int^\infty_0 dr' \, r'^2 \frac{ 1 }{ r_> } \, \rho( r' ) = 4\pi \left( \frac{ 1 }{ r } \int^r_0 dr' \, r'^2 \, \rho( r' ) + \int^\infty_r dr' \, r' \, \rho( r' ) \right)

\rho( r ) が半径 Rまで値を持つ場合において、その内側で V( r < R ) が定数になる \rho の形を求めることを試みる。
定数であるから、微分するとポテンシャルはゼロになる条件を使って、
\displaystyle \frac{1}{4\pi} \frac{ d V }{ d r } = 0 = - \frac{ 1 }{ r^2 } \int^r_0 dr' \, r'^2 \, \rho( r' ) + \frac{1}{r} r^2 \, \rho( r ) + R \, \rho( R ) - r \, \rho( r ) \\ \displaystyle \therefore \int^r_0 dr' \, r'^2 \, \rho( r' ) = r^2 R \, \rho( R )

もう一度微分すると、
\displaystyle r^2 \, \rho( r ) = 2 r R \, \rho( R ) \\ \displaystyle \therefore \rho( r ) = 2 \rho( R ) \frac{ R }{ r } \\ \displaystyle \therefore \rho( R ) = 0 \rightarrow \rho( r ) = 0

したがって、定数ポテンシャルを与えるような電子密度は存在しないことが証明される。

仮に、一様な電荷 \rho( r ) = \rhoを与えたとしても、
\displaystyle V( r < R ) = 4\pi \rho \left( \frac{ 1 }{ r } \int^r_0 dr' \, r'^2 + \int^R_r dr' \, r' \right) = \rho \left( \frac{1}{ r } \frac{ 4\pi r^3 }{ 3 } + \frac{ 4\pi R^2 - 4\pi r^2 }{ 2 } \right) \\ \displaystyle V( r \ge R ) = 4\pi \rho \frac{ 1 }{ r } \int^R_0 dr' \, r'^2 = \rho \frac{1}{ r } \frac{ 4\pi R^3 }{ 3 } = \frac{ Q }{ r } \quad ( \rho \equiv Q \frac{ 3 }{ 4 \pi R^3 } )
という様に、位置に依存した関数となってしまう。