数演算子の波数表示。

数演算子
$\displaystyle n_i = a^\dagger_i a_i$
の波数表示を求める。

まず、素直に $n_i$ をフーリエ級数展開で波数表示にしてみる。
$\displaystyle n_i = \sum_q n_q e^{ i q \cdot r_i } \qquad \left( n_q = \frac{ 1 }{ N } \sum_i n_i e^{ - i q \cdot r_i } \right) \\ \displaystyle a_i = \frac{1}{ \sqrt{N} } \sum_k a_k e^{ i k \cdot r_i } \qquad \left( a_k = \frac{1}{ \sqrt{N} } \sum_i a_i e^{ - i k \cdot r_i } \right)$

$n_q$ に $n_i$ を代入することで $n_q$ を求める。
$\displaystyle n_q = \frac{ 1 }{ N } \sum_i n_i e^{ - i q \cdot r_i } = \frac{ 1 }{ N } \sum_i a^\dagger_i a_i e^{ - i q \cdot r_i } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N^2 } \sum_i \sum_{ k_1, k_2 } a^\dagger_{k_1} a_{k_2} e^{ i ( - k_1 + k_2 ) \cdot r_i } e^{ - i q \cdot r_i } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N } \sum_{ k_1, k_2 } a^\dagger_{k_1} a_{k_2} \delta_{ k_2, k_1 + q } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N } \sum_{ k_1 } a^\dagger_{k_1} a_{k_1 + q} \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N } \sum_{ k } a^\dagger_{k } a_{k + q}$

元に戻るかを確認すると、
$\displaystyle \sum_q n_q e^{ i q \cdot r_i } = \frac{ 1 }{ N } \sum_q \sum_{ k } a^\dagger_{k} a_{k + q} e^{ i q \cdot r_i } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N^2 } \sum_q \sum_{ k } \sum_{ l, m } a^\dagger_{l} a_{m} e^{ i k \cdot r_l } e^{ - i ( k + q ) \cdot r_m } e^{ i q \cdot r_i } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 1 }{ N^2} \sum_q \sum_{ k } \sum_{ l, m } a^\dagger_{l} a_{m} e^{ i k \cdot ( r_l - r_m ) } e^{ i q \cdot ( r_i - r_m ) } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ l, m } a^\dagger_{l} a_{m} \delta_{ l,m } \delta_{ i, m } \\ \displaystyle \qquad = a^\dagger_{i} a_{i} = n_i$

$n_q$ の対称性として、 $n_{-q} = n_q^\dagger$ が使える。
$\displaystyle n_{-q} = \sum_i n_i e^{ i q \cdot r _i } \\ \displaystyle \qquad = \sum_i \left( n_i \right)^\dagger e^{ i q \cdot r _i } \\ \displaystyle \qquad = \left( \sum_i n_i e^{ - i q \cdot r _i } \right)^\dagger \\ \displaystyle \qquad = n_{q}^\dagger$

もしくは以下のようにしても示せる。
$\displaystyle n_{-q} = \sum_k a^\dagger_k a_{k-q} \\ \displaystyle \qquad = \sum_{k'} a^\dagger_{ k' + q } a_{ k' } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{k'} \left( a^\dagger_{ k'} a_{ k' + q } \right)^\dagger \\ \displaystyle \qquad = \left( \sum_{k'} a^\dagger_{ k'} a_{ k' + q } \right)^\dagger \\ \displaystyle \qquad = n_q^\dagger$

特別に $q = 0$ のとき、
$\displaystyle n_{q=0} = \frac{1}{N} \sum_k a_k^\dagger a_k = \frac{1}{N} \sum_k n_k = \frac{ \hat N }{ N }$
というように、電子数変化の割合を表す演算子になる。

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

数演算子の波数表示。