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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Bosonの多電子波動関数

量子力学

参考文献：Fetter-Walecka

Bosonの多電子波動関数 \Psi^Bは一電子Boson波動関数 \psi^Bおよび展開係数 Cを用いて、一般に以下のように書ける。
\displaystyle \Psi^B( x_1, \cdots, x_N; t ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ i_1, \cdots, i_N } C( i_1, \cdots, i_N; t ) \, \psi^B_{i_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i_N}( x_N ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ n_1, \cdots, n_\infty } C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \, \psi^B_{i_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i_N}( x_N )

上記に対する例を挙げると、
\displaystyle \Psi^B( x_1, x_2, x_3 ; t ; n_1 = 2, n_2 = 1 ) \\ \displaystyle \qquad = C( 1, 1, 2; t ) \psi^B_{1}( x_1 ) \psi^B_{1}( x_2 ) \psi^B_{2}( x_3 ) \\ \displaystyle \qquad \qquad + C( 1, 2, 1; t ) \psi^B_{1}( x_1 ) \psi^B_{2}( x_2 ) \psi^B_{2}( x_3 ) \\ \displaystyle \qquad \qquad + C( 2, 1, 1; t ) \psi^B_{2}( x_1 ) \psi^B_{1}( x_2 ) \psi^B_{1}( x_3 ) \\ \displaystyle \qquad = C( n_1=2, n_2 = 1; t ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \left( \psi^B_{1}( x_1 ) \psi^B_{1}( x_2 ) \psi^B_{2}( x_3 ) \right. \\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad + \psi^B_{1}( x_1 ) \psi^B_{2}( x_2 ) \psi^B_{1}( x_3 ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad \left. + \psi^B_{2}( x_1 ) \psi^B_{1}( x_2 ) \psi^B_{1}( x_3 ) \right) \\ \displaystyle \qquad = C( n_1=2, n_2 = 1; t ) \sum_{ i_1, i_2, i_3 \\ (n_1 = 2, n_2 = 1 ) } \psi^B_{i_1}( x_1 ) \psi^B_{i_2}( x_2 ) \psi^B_{i_3}( x_3 ) \\ \displaystyle \because C( 1, 1, 2; t ) = C( 1, 1, 2; t ) = C( 1, 1, 2; t ) \equiv C( n_1 = 2, n_2 = 1; t )

注意として、
\displaystyle \sum_{i_1, \cdots, i_N} | C( i_1, \cdots, i_N; t ) |^2 = 1 \\ \displaystyle \sum_{i_1, \cdots, i_N} | C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) |^2 = 1 \\ \displaystyle \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} | C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) |^2 \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } = 1 \\ \displaystyle \therefore \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} | C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) |^2 \neq 1

占有率表示における規格化条件は、
\displaystyle \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} | C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) |^2 \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty! ) } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} | C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) |^2 \frac{ N! }{ n_! \cdots n_\infty! } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} \left| \left( \frac{ N! }{ n_! \cdots n_\infty! } \right)^{1/2} C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \right|^2 \\ \displaystyle \qquad \equiv \sum_{n_1, \cdots, n_\infty} \left| c^B( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \right|^2 = 1
x_1, \cdots x_N のうち、"1"の状態に割り振る数を n_1、"2"に割り振る数を n_2 \cdotsと分けていったときの組み合わせの数が \frac{ N! }{ n_! \cdots n_\infty! }であることに注意。
これは、前回の記事において、 r = N、 M \rightarrow \inftyとしたものに対応する。
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したがって、
\displaystyle \Psi^B( x_1, \cdots, x_N; t ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ n_1, \cdots, n_\infty } C( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \, \psi^B_{i_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i_N}( x_N ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ n_1, \cdots, n_\infty } c^B( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \left( \frac{ n_! \cdots n_\infty! }{ N! } \right)^{1/2} \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \, \psi^B_{i_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i_N}( x_N ) \\ \displaystyle \qquad \equiv \sum_{ n_1, \cdots, n_\infty } c^B( n_1, \cdots, n_\infty; t ) \Phi^B_{n_1, \cdots n_\infty }( x_1, \cdots, x_N )

\Phi^Bは、規格直交条件を満たしている。逆に言えば、ただの一粒子波動関数の積の和は規格化されていない。
\displaystyle \int \left( \prod^N_{i=1} dx_i \right) \sum_{ i'_1, \cdots, i'_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \left[ \psi^B_{i'_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i'_N}( x_N ) \right]^* \psi^B_{i_1}( x_1 ) \cdots \psi^B_{i_N}( x_N ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ i'_1, \cdots, i'_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } \prod^N_{j=1} \delta_{i'_j i_j} \\ \displaystyle \qquad = \sum_{ i_1, \cdots, i_N \\ (n_1, \cdots, n_\infty ) } = \frac{ N! }{ n_! \cdots n_\infty! } \\ \displaystyle \therefore \int \left( \prod^N_{i=1} dx_i \right) \left[ \Phi^B_{n'_1, \cdots n'_\infty }( x_1, \cdots, x_N )\right]^\dagger \Phi^B_{n_1, \cdots n_\infty }( x_1, \cdots, x_N ) = \prod^\infty_{j=1} \delta_{n'_j n_j}

これにより、Fermionの多体波動間数と比較して、 \prod_i \sqrt{ n_i ! } の分だけ規格化定数が変更される。