Campbell-Baker-Hausdorffの公式と生成消滅演算子の時間発展。

いつも公式を忘れるので、ここでまとめる。
Campbell-Baker-Hausdorffの公式を帰納法を用いて証明する。
$\displaystyle f( \lambda ) = e^{ \lambda A } B e^{ - \lambda A } \\ \displaystyle f^{(1)}( \lambda ) = e^{ \lambda A } \lambda [ A, B ] e^{ - \lambda A } =: e^{ \lambda A } C^{(1)} e^{ - \lambda A } \\ \displaystyle f^{(2)}( \lambda ) = e^{ \lambda A } \lambda [ A, C^{(1)} ] e^{ - \lambda A } = e^{ \lambda A } \lambda^2 [ A, [ A, B ] ] e^{ - \lambda A } =: e^{ \lambda A } C^{(2)} e^{ - \lambda A }$
帰納法を使えば、
$\displaystyle f^{(n)}( \lambda ) =: e^{ \lambda A } C^{(n)} e^{ - \lambda A } = e^{ \lambda A } \lambda^n [ A, \cdots [ A, B ] \cdots ] e^{ - \lambda A } \\ \displaystyle f^{(n+1)}( \lambda ) = e^{ \lambda A } \lambda [ A, C^{(n)} ] e^{ - \lambda A } = e^{ \lambda A } \lambda^{n+1} [ A, [ A, \cdots [ A, B ] \cdots ] ] e^{ - \lambda A } \\ \displaystyle \qquad = e^{ \lambda A } C^{(n+1)} e^{ - \lambda A }$
したがって、一般の次数における微分係数が求まったため、Maclaurin展開より、
$\displaystyle f( \lambda ) = \sum_{n=0} \frac{ \lambda }{ n! } f^{(n)}( 0 ) \\ \displaystyle e^{ \lambda A } B e^{ - \lambda A } = B + \lambda [ A, B ] + \frac{ \lambda^2 }{ 2!}[ A, [ A, B ]] + \cdots$

Campbell-Baker-Hausdorffの公式を（自由）電子系に応用する。
（電子）ハミルトニアンが第二量子化で次のように定義されているとする。
$\displaystyle H = \sum_k \varepsilon_k c^\dagger_k c_k$

生成消滅演算子の時間発展は、ハミルトニアンが時間に依存しなければ、一般に以下のように書ける。
$\displaystyle c^\dagger_{k_0}( t ) = e^{ i H t / \hbar } c^\dagger_{k_0} e^{ - i H t / \hbar } \\ \displaystyle c_{k_0}( t ) = e^{ i H t / \hbar } c_{k_0} e^{ - i H t / \hbar }$

これらをCampbell-Baker-Hausdorffの公式を用いて計算すると、
$\displaystyle [ H, c^\dagger_{k_0} ] = \sum_k \varepsilon_k [ c^\dagger_k c_k, c^\dagger_{k_0} ] \\ \displaystyle \qquad = \sum_k \varepsilon_k ( c^\dagger_k c_k c^\dagger_{k_0} - c^\dagger_{k_0} c^\dagger_k c_k ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_k \varepsilon_k ( c^\dagger_k \delta_{ k k_0 } - c^\dagger_k c^\dagger_{k_0} c_k - c^\dagger_{k_0} c^\dagger_k c_k ) \\ \displaystyle \qquad = \varepsilon_{k_0} c^\dagger_{k_0}$
$\displaystyle [ H, c_{k_0} ] = \sum_k \varepsilon_k [ c^\dagger_k c_k, c_{k_0} ] \\ \displaystyle \qquad = \sum_k \varepsilon_k ( c^\dagger_k c_k c_{k_0} - c_{k_0} c^\dagger_k c_k ) \\ \displaystyle \qquad = \sum_k \varepsilon_k ( c^\dagger_k c_k c_{k_0} - \delta_{ k k_0 } c_k + c^\dagger_k c_{k_0} c_k ) \\ \displaystyle \qquad = - \varepsilon_{k_0} c_{k_0}$

よって、 $\lambda = i t / \hbar$ とすれば、
$\displaystyle c^\dagger_{k_0}( t ) = c^\dagger_{k_0} \sum_n \frac{ \lambda^n }{ n! } \varepsilon_{k_0}^n = c^\dagger_{k_0} e^{ \lambda \varepsilon_{k_0} } \\ \displaystyle c_{k_0}( t ) = c_{k_0} \sum_n \frac{ \lambda^n }{ n! } ( - \varepsilon_{k_0} )^n = c_{k_0} e^{ - \lambda \varepsilon_{k_0} }$

この結果を使って、（ゼロ温度における）greater および lesser 電子Green関数 $G^>, G^<$ を求める。
$\displaystyle G_{kk'}^>( t, t' ) = \frac{ \hbar }{ i } \langle c_k( t ) c^\dagger_{k'}( t' ) \rangle = \frac{ \hbar }{ i } \delta_{kk'} ( 1 - n_k ) e^{ - i \varepsilon_k ( t - t' ) } \\ \displaystyle G_{kk'}^<( t, t' ) = - \frac{ \hbar }{ i } \langle c^\dagger_{k'}( t' ) c_{k}( t ) \rangle = \frac{ \hbar }{ i } \delta_{kk'} n_k e^{ i \varepsilon_k ( t' - t ) } \\$
ややこしいが、