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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

三準位系における間接相互作用

三準位系で、1と3は相互作用しないが、それぞれ2と相互作用しているときの1と3の関係について知りたい。

解きたい行列式

\displaystyle
\begin{vmatrix}
\varepsilon_1 - \varepsilon & v_{12} & 0 \\
v_{12}^* &  \varepsilon_2 - \varepsilon & v_{23} \\
0 & v_{23}^* &  \varepsilon_3 - \varepsilon
\end{vmatrix}
\\
\displaystyle
\quad
=
  ( \varepsilon_1 - \varepsilon )( \varepsilon_2 - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon )
  - |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) - |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) 
= 0
\\
\displaystyle
( \varepsilon_1 - \varepsilon )( \varepsilon_2 - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon )
\\
\displaystyle
\quad
 = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + ( \varepsilon_1 \varepsilon_2 + \varepsilon_2 \varepsilon_3 + \varepsilon_3 \varepsilon_1 ) \varepsilon - \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_3 )

簡単のため、 \varepsilon_2 = 0

\displaystyle
( \varepsilon_1 - \varepsilon )( - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon )
  - |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) - |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) 
\\
\displaystyle
\quad
 = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + \varepsilon_3 \varepsilon_1 \varepsilon  + |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) + |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) )
\\
\displaystyle
\quad
 = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + ( \varepsilon_3 \varepsilon_1 - |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) \varepsilon  + |v_{12}|^2 \varepsilon_3+ |v_{23}|^2 \varepsilon_1 )

更に簡単のため、 \varepsilon_1 = - \varepsilon_3 = - \varepsilon_0

\displaystyle
\begin{vmatrix}
  - \varepsilon_0 - \varepsilon & v_{12} & 0 \\
v_{12}^* &  - \varepsilon & v_{23} \\
0 & v_{23}^* &  \varepsilon_0 - \varepsilon
\end{vmatrix}
\\
\displaystyle
\quad
 = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + |v_{12}|^2 + |v_{23}|^2 ) \varepsilon + \varepsilon_0( |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) )
=
0
\\
\displaystyle
\therefore
\varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + |v_{12}|^2 + |v_{23}|^2 ) \varepsilon + \varepsilon_0( |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) = 0

 |v_{12}| = |v_{23}| \equiv vのとき、

\displaystyle
\varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 ) \varepsilon = 0
\\
\displaystyle
\varepsilon (\varepsilon - \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 } ) (\varepsilon + \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 } ) = 0
となり、中心の \varepsilon_2 = 0は動かない。
二準位だけ考えた場合の分裂幅は、

\displaystyle
\Delta \varepsilon = \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 4 |v|^2 }
であることから、三準位で両端から押すと分裂幅は小さくなることが分かった。