ゼロとの掛算はゼロに戻る証明。

和の単位元0は、あらゆる積の演算に対して自分自身に戻る。
この性質は、体の定義には含まれておらず、定理として導かれる。
そこで、体 $K$ に含まれる元 $a \in K$ に対して、 $0a = 0$ であることを証明する。

先に、後で使う定理を導いておく。
$b + b = b \Leftrightarrow b = 0$
以下証明。和の単位元0の性質より、
$\displaystyle b = b + 0 = b + ( b + (-b) )$
$b + b = b$ であるから、
$\displaystyle b + ( b + (-b) ) = ( b + b ) + (-b) = b+ (-b) = 0 \\ \displaystyle \therefore b = 0$
「自分自身と足して自分自身に戻るものはゼロ」ということを表している。

以下、お目当ての証明に戻る。
前回の時もそうだが、単位元0を如何に弄り倒すかがポイントのように思われる。
koideforest.hatenadiary.com

和の単位元0の性質から、
$\displaystyle 0a = ( 0 + 0 )a$
分配律（和と積が混ざる唯一の律）より、
$\displaystyle ( 0 + 0 )a = 0a + 0a$
したがって、先に示した定理を使えば、証明が完了する。
$\displaystyle 0a = 0a + 0a \Leftrightarrow 0a = 0$

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

ゼロとの掛算はゼロに戻る証明。