多変数関数の連続性

変数が増えると、一見連続そうに見えても、不連続な場合がある。

例１:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def arbitrary_function( x, y ):
    return ( x - y ) / ( x + y + 1e-7 )

N = 1000
x_min, x_max = -1, 1
y_min, y_max = -1, 1

x1 = np.linspace( x_min, x_max, N )
y1 = np.linspace( y_min, y_max, N )
X, Y = np.meshgrid( x1, y1 )

Z = np.zeros( ( N, N ) )
for ix, x_ in enumerate( x1 ):
    for iy, y_ in enumerate( y1 ):
        Z[ iy ][ ix ] = arbitrary_function( x_, y_ )  # Caution: not Z[ ix ][ iy ]

fig = plt.figure( figsize = ( 5, 4 ) )
ax = fig.add_subplot( 1, 1, 1 )
c = ax.pcolor( X, Y, Z, cmap = 'viridis', vmin = -1, vmax = 1)  # or "pcolormesh"
fig.colorbar( c )
plt.savefig("discontiniuation1.png")
plt.show()

上で不連続であることがわかる。

例2:

def arbitrary_function( x, y ):
    return 2 x y / ( x**2 + y**2 + 1e-7 )

で不連続になっている。
これは、軸上および軸上で値ゼロだが、対角線方向では-1 or 1の定数となるため、原点付近の微小量が方向に強く依存してしまっているためである。