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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

マクスウェル方程式とゲージ変換

ほぼ自分用の初等的なメモ

Wikipedia
マクスウェルの方程式 - Wikipedia

マクスウェル-ガウスの式

\displaystyle
\nabla \cdot \epsilon_0 \boldsymbol E = \rho

磁化保存の式だけ人の名前がついていない。

\displaystyle
\nabla \cdot \boldsymbol B = 0

ファラデー-マクスウェルの式

\displaystyle
\nabla \times \boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol B }{ \partial t } = 0

アンペール-マクスウェルの式

\displaystyle
\nabla \times \frac{ \boldsymbol B }{ \mu_0 } - \frac{ \partial \, \epsilon_0 \boldsymbol E }{ \partial t } = \boldsymbol j


ここから、各ポテンシャルとそれらのゲージ変換不変を導く。

磁化保存の式から

\displaystyle
\boldsymbol B =: \nabla \times \boldsymbol A
\\
\displaystyle
(\because \nabla \cdot ( \nabla \times \boldsymbol A ) = 0 )
\\
\displaystyle
\therefore \boldsymbol A' = \boldsymbol A + \nabla \chi
\\
\displaystyle
(\because \nabla \times ( \nabla \chi ) = 0 )

よって、ベクトルポテンシャル \boldsymbol Aは変換 \boldsymbol A \rightarrow \boldsymbol A + \nabla \chiに対して磁場を不変に保つ。

次にファラデー-マクスウェルの式より、

\displaystyle
\nabla \times \left( \boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } \right) = 0
\\
\displaystyle
\therefore
\boldsymbol E + \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } = - \nabla \phi
\\
\displaystyle
( \because \nabla \times (\nabla \phi) = 0 )
スカラーポテンシャル \phiの負符号は慣習である。
これにより、

\displaystyle
\boldsymbol E = - \nabla \phi - \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t }
電場 \boldsymbol Eを不変に保つようなスカラーポテンシャル \phiの変換を考える。

\displaystyle
\boldsymbol E' = - \nabla \phi' - \frac{ \partial \boldsymbol A }{ \partial t } - \frac{ \partial \nabla \chi }{ \partial t }  
\\
\displaystyle
\therefore
\nabla \phi' - \nabla \phi + \frac{ \partial \nabla \chi }{ \partial t } 
  = \nabla \left( \phi' - \phi + \frac{ \partial \chi }{ \partial t } \right) 
  = 0
\\
\displaystyle
(\because E - E' = 0 )
\\
\displaystyle
\therefore
 \phi' = \phi - \frac{ \partial \chi }{ \partial t }

これで、 \phi \boldsymbol Aをゲージ変換も含めて導出することが出来た。
ここだけなら、マクスウェル方程式のうち二つだけで済む。


次に、クーロンゲージとローレンツゲージについてまとめる。

クーロンゲージは「スカラーポテンシャル \phi電荷 \rhoだけで表したい」というものである。
使う式は、マクスウェル-ガウスの式である。

\displaystyle
\nabla \cdot \epsilon_0 \boldsymbol E = \epsilon_0 \left( - \nabla^2 \phi - \frac{ \partial ( \nabla \cdot \boldsymbol A ) }{ \partial t } \right)
  = \rho
したがって、 \nabla \cdot \boldsymbol A = 0となるようにゲージ \chiを選べば( \nabla^2 \chi = - \nabla \cdot \boldsymbol A)、

\displaystyle
  - \nabla^2 \phi = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 }
のようにスカラーポテンシャルに対するポアソン方程式が得られる。
この、 \nabla \cdot \boldsymbol A = 0のゲージの取り方をクーロンゲージと呼ぶ。

ローレンツゲージは、「(電荷スカラーポテンシャル)と(電流、ベクトルポテンシャル)の組の対応を明確にしたい」というものである。
使う式は、まだ使っていなかったアンペール-マクスウェルの式である。

\displaystyle
  \nabla \times ( \nabla \times \boldsymbol A ) + \epsilon_0 \mu_0 \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right)
  = \mu_0 \boldsymbol j
\\
\displaystyle
  \nabla \times ( \nabla \times \boldsymbol A ) + \frac{ 1 }{ c^2 } \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right)
  = \mu_0 \boldsymbol j
外積の二個掛けは、以下のベクトル解析の公式が知られている。

\displaystyle
  \boldsymbol a \times \boldsymbol b \times \boldsymbol c
    = \boldsymbol b ( \boldsymbol a \cdot \boldsymbol c ) - \boldsymbol c ( \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a )
    = ( \boldsymbol a \cdot \boldsymbol c ) \boldsymbol b - ( \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a ) \boldsymbol c
したがって、

\displaystyle
  \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol A ) - \nabla^2 \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \left( \frac{ \partial \nabla \phi }{ \partial t } + \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } \right)
  = \mu_0 \boldsymbol j
\\
\displaystyle
  - \nabla^2 \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 \boldsymbol A }{ \partial t^2 } + \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial t } \right)
  = \mu_0 \boldsymbol j
ここで、 \nabla \cdot \boldsymbol A + \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial t } = 0となるようにゲージを選ぶのがローレンツゲージである。
ローレンツゲージをとれば、ベクトルポテンシャルに関する波動方程式が得られる。

\displaystyle
  \left( \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t^2 } - \nabla^2 \right) \boldsymbol A  = \mu_0 \boldsymbol j
一方、マクスウェル-ガウスの式からは、ローレンツゲージを採用することでスカラーポテンシャルに関する波動方程式が得られる。

\displaystyle
  - \nabla^2 \phi - \frac{ \partial (\nabla \cdot \boldsymbol A) }{ \partial t } = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 }
\\
\displaystyle
  \left( \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t } - \nabla^2 \right) \phi = \frac{ \rho }{ \epsilon_0 }
このように、対応関係がハッキリとわかる。


ポテンシャルとゲージ変換を導出することで、マクスウェル方程式の全ての式を満遍なく触ることが出来るのは、非常に教育的だと思った次第である。