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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

光学定理(複素ポテンシャル):複素波数

前回、波数が実数のときの光学定理についてまとめた。
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今回は、より一般的な、波数が複素数のときの光学定理を考察する。

波数ベクトルを次のように定義する。

\displaystyle
\vec{k} = k \hat{k} \quad( k \in \mathbb{C}, \, \hat{k} \in \mathbb{R}^3 )
\\
\displaystyle
k = k' + i k'' \quad( k', k'' \in \mathbb{R} )
\\
\displaystyle
\hat{k} \cdot \hat{k} = 1
方向ベクトルまで複素数にすると訳が分からなくなる。

これより、確率流密度は、

\displaystyle
{\bf J}^{\pm}
  = \frac{\hbar}{m} \Im \left( (\psi_{in} + \psi^{\pm}_{out} )^* i k ( \hat{k} \psi_{in} \pm \hat{r} \psi^{\pm}_{out} ) \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = \frac{\hbar}{m} |\psi_{in}|^2 \Im( i k )
    \pm \frac{\hbar}{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2 \Im( i k )
    + \frac{\hbar}{m} \left( \pm \Re( k \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \hat{r} + \Re( k (\psi^{\pm}_{out})^* \psi_{in}) \hat{k} \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = \frac{\hbar k'}{m} |\psi_{in}|^2
    \pm \frac{\hbar k'}{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2
    + \frac{\hbar}{m} \left( \Re( k^* \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out}) \hat{k} \pm \Re( k \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \hat{r} \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = \frac{\hbar k'}{m} |\psi_{in}|^2
    \pm \frac{\hbar k'}{m} |\psi^{\pm}_{out}|^2
    + \frac{\hbar}{m} \left( \Re( k^* \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out})( \hat{k} \pm \hat{r} ) \pm \Re( 2ik'' \psi_{in}^* \psi^{\pm}_{out} ) \hat{r} \right)
ただし、 k = k' + i k'' = k' - i k'' + 2 i k'' = k^* + 2 i k''を使った。

平面波の漸近形を使えば、
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\displaystyle
\frac{1}{A^*} \psi^*_{in}
  = e^{ - i \vec{k}^* \cdot \vec{r} }
  \rightarrow \frac{ 4 \pi }{ 2ik^*r } \left( e^{ ik^*r } \delta( \hat{r} - ( - \hat{k} ) ) - e^{ - ik^*r } \delta( \hat{r} + ( - \hat{k} ) \right)

したがって、

\displaystyle
\Re \left( k^* \psi_{in}^* \psi^{+}_{out} \right)( \hat{k} + \hat{r})
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    k^* \frac{ 4 \pi }{ 2ik^*r } \frac{1}{r}
    \left(
        f^+( \pi )e^{ i ( k + k^* ) r } \delta( \hat{r} + \hat{k} )
         - f^+( 0 ) e^{ i ( k - k^* ) r } \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
    ( \hat{k} + \hat{r} ) \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    \frac{ 4 \pi }{ 2i } \frac{1}{r^2}
    \left(
         - f^+( 0 ) e^{ - 2 k'' r } \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
    ( 2 \hat{k} ) \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = - |A|^2 \frac{4 \pi }{ k' } \frac{k'}{r^2} e^{ - 2k'' r } \Im \left[ f^+( 0 ) \right] \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \hat{k}
\\
\displaystyle
\Re \left( k^* \psi_{in}^* \psi^{-}_{out} \right) ( \hat{k} - \hat{r} )
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    k^* \frac{ 4 \pi }{ 2ik^*r } \frac{1}{r}
    \left(
        f^-( \pi )e^{ - i ( k - k^* ) r } \delta( \hat{r} + \hat{k} )
         - f^-( 0 ) e^{ - i ( k + k^* ) r } \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
    ( \hat{k} - \hat{r} ) \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    \frac{ 4 \pi }{ 2i } \frac{1}{r^2}
    \left(
         f^-( \pi ) e^{ 2 k'' r } \delta( \hat{r} + \hat{k} )
    \right)
    ( 2 \hat{k} ) \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \frac{4 \pi }{ k' } \frac{k'}{r^2} e^{ 2k'' r } \Im \left[ f^-( \pi ) \right] \delta( \hat{r} + \hat{k} ) \hat{k}


\displaystyle
\Re \left( 2 i k'' \psi_{in}^* \psi^{+}_{out} \right) \hat{r}
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    2 i k'' \frac{ 4 \pi }{ 2ik^*r } \frac{1}{r}
    \left(
        f^+( \pi )e^{ 2 i k' r } \delta( \hat{r} + \hat{k} )
         - f^+( 0 ) e^{ - 2 k'' r } \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
    \hat{r} \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 4 \pi \frac{1}{r^2} \Re \left(
    \frac{ k'' }{ k^* }
    \left(
        f^+( \pi )e^{ 2 i k' r } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) ( - \hat{k} )
         - f^+( 0 ) e^{ - 2 k'' r } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \hat{k}
    \right)
    \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = - |A|^2 \frac{ 4 \pi }{ k' } \frac{k'}{r^2}
    \left( 
     \Re \left[ \tilde{f}^+( \pi )e^{ 2 i k' r } \right] \delta( \hat{r} + \hat{k} )
     + \Re \left[ \tilde{f}^+( 0 )e^{ - 2 k'' r } \right] \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
   \hat{k}
\\
\displaystyle
\Re \left( 2 i k'' \psi_{in}^* \psi^{-}_{out} \right) \hat{r}
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 \Re \left(
    2 i k'' \frac{ 4 \pi }{ 2ik^*r } \frac{1}{r}
    \left(
        f^-( \pi )e^{ 2 k'' r } \delta( \hat{r} + \hat{k} )
         - f^-( 0 ) e^{ - 2 i k' r } \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
    \hat{r} \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = |A|^2 4 \pi \frac{1}{r^2} \Re \left(
    \frac{ k'' }{ k^* }
    \left(
        f^-( \pi )e^{ 2 k'' r } \delta( \hat{r} + \hat{k} ) ( - \hat{k} )
         - f^-( 0 ) e^{ - 2 i k' r } \delta( \hat{r} - \hat{k} ) \hat{k}
    \right)
    \right)
\\
\displaystyle
\quad
  = - |A|^2 \frac{ 4 \pi }{ k' } \frac{k'}{r^2}
    \left( 
     \Re \left[ \tilde{f}^-( \pi )e^{ 2 k'' r } \right] \delta( \hat{r} + \hat{k} )
     + \Re \left[ \tilde{f}^-( 0 )e^{ - 2 i k' r } \right] \delta( \hat{r} - \hat{k} )
    \right)
   \hat{k}
ここで、 \tilde{f} \equiv (k''/k^*) fと定義した。

したがって、

\displaystyle
{\bf J}^{\pm}_{inter}
  =\frac{ 4\pi }{ k' } |A|^2 \frac{ \hbar k' }{ m } \frac{1}{r^2}
\\
\displaystyle
\qquad
\times
  \left(
    \Im \left[ f^{\pm}( \pi/2 \mp \pi/2 ) e^{\mp 2 k'' r} \right] \delta( \hat{r} \mp \hat{k} ) ( \mp \hat{k})
  \right.
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
    \mp \left(
        \Re \left[ \tilde{f}^{\pm}(\pi/2 \mp \pi/2) e^{\mp 2k''r} \right] \delta( \hat{r} \mp \hat{k} )
        \right.
\\
\displaystyle
\qquad \qquad \qquad
  \left.
        \left.
        + \Re \left[ \tilde{f}^{\pm}(\pi/2 \pm \pi/2) e^{\pm 2 i k'r} \right] \delta( \hat{r} \pm \hat{k} )
    \right) \hat{k}
  \right)

角度積分を行う際、以下の関係が便利である。

\displaystyle
\int d\hat{r} \, \delta( \hat{ r } \mp \hat{ k } ) \, ( \mp \hat{k} ) \cdot \hat{r} = -1
\\
\int d\hat{r} \, \delta( \hat{ r } \mp \hat{ k } ) \, \hat{k} \cdot \hat{r} = \pm 1

したがって、

\displaystyle
r^2 \int d\hat{r} \, {\bf J}^+_{inter} \cdot \hat{r}
\\
\displaystyle
\quad
  = - \frac{ 4 \pi }{ k' } |A|^2 \frac{ \hbar k' }{ m }
  \left(
    \left( \Im[ f^+( 0 ) ] + \Re[ \tilde{f}^+( 0 ) ] \right) e^{ - 2 k'' r }
    - \Re[ \tilde{f}^+( \pi ) e^{ 2 i k' r } ]
  \right)
\\
\displaystyle
\quad
  \equiv - \frac{ 4 \pi }{ k' } |A|^2 \frac{ \hbar k' }{ m } F^+( 0 )
\\
\displaystyle
r^2 \int d\hat{r} \, {\bf J}^-_{inter} \cdot \hat{r}
\\
\displaystyle
\quad
  = - \frac{ 4 \pi }{ k' } |A|^2 \frac{ \hbar k' }{ m }
  \left(
    \left( \Im[ f^-( \pi ) ] + \Re[ \tilde{f}^-( \pi ) ] \right) e^{ 2 k'' r }
    - \Re[ \tilde{f}^-( 0 ) e^{ - 2 i k' r } ]
  \right)
\\
\displaystyle
\quad
  \equiv - \frac{ 4 \pi }{ k' } |A|^2 \frac{ \hbar k' }{ m } F^-( \pi )

よって、光学定理は、 \sigma_{ela} > 0となるように符号を合わせると、

\displaystyle
\sigma^+_{tot} = \frac{ 4 \pi }{ k' } F^+( 0 )
\\
\displaystyle
\sigma^-_{tot} = - \frac{ 4 \pi }{ k' } F^-( \pi )
と(一見)表せる。

しかし、よく見ると F rに依存していて、 r \rightarrow \inftyの極限で、発散するかゼロになる。
直感的にも、そうなるのが妥当な気もする。
やはり、少なくとも無限遠で定義される断面積を定義するには、有限の距離でポテンシャルの虚部がゼロになる必要がある。