前回、波数が実数のときの光学定理についてまとめた。
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今回は、より一般的な、波数が複素数のときの光学定理を考察する。
波数ベクトルを次のように定義する。
方向ベクトルまで複素数にすると訳が分からなくなる。
これより、確率流密度は、
ただし、を使った。
平面波の漸近形を使えば、
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したがって、
ここで、と定義した。
したがって、
角度積分を行う際、以下の関係が便利である。
したがって、
よって、光学定理は、となるように符号を合わせると、
と(一見)表せる。
しかし、よく見るとはに依存していて、の極限で、発散するかゼロになる。
直感的にも、そうなるのが妥当な気もする。
やはり、少なくとも無限遠で定義される断面積を定義するには、有限の距離でポテンシャルの虚部がゼロになる必要がある。