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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

微分の連鎖律：係数は前？後？

数学

微分の連鎖律
\displaystyle x = x( u, v ), \quad y = y( u, v ) \\ \displaystyle \frac{d}{du} = \frac{d}{dx} \frac{dx}{du} + \frac{d}{dy} \frac{dy}{du} \\ \displaystyle \frac{d}{dv} = \frac{d}{dx} \frac{dx}{dv} + \frac{d}{dy} \frac{dy}{dv}

例えば、
\displaystyle x = u^2, \quad y = v^2 \\ \displaystyle \frac{dx}{du} = 2u, \quad \frac{dx}{dv} = 0 \\ \displaystyle \frac{dy}{du} = 0, \quad \frac{dy}{dv} = 2v

この時、
\displaystyle \frac{d}{du} = 2\sqrt{ x } \frac{d}{dx} \, or \, \frac{d}{dx} \, 2\sqrt{ x } \\ \displaystyle \frac{d}{dv} = 2\sqrt{ y } \frac{d}{dy} \, or \, \frac{d}{dy} \, 2\sqrt{ y }
で若干迷ったりすることはないだろうか？
後者だと、もう一回微分しないといけなくなり、答えは同じにならない。

これを f( x, y ) = x + y = u^2 + v^2の微分で確認してみると、
\displaystyle \frac{df}{du} = 2u = 2u \frac{df}{dx} = \frac{dx}{du} \frac{df}{dx} \\ \displaystyle \frac{df}{dv} = 2v = 2v \frac{df}{dy} = \frac{dy}{dv} \frac{df}{dy}

したがって、係数は微分の前に出しておくのが正解である。
公式を覚えてしまうのも良いが、自分で簡単な例を作って確認出来る方が安心感が強いと個人的には思う。