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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

二次元のベクトルの割算について

ベクトルの割算ってなんだ?って思った時に、複素数の割算を考えてみた。


\displaystyle
z = x + i y
\\
\displaystyle
\frac{ z_2 }{ z_1 }
  = \frac{ x_2 + i y_2 }{ x_1 + i y_1 }
  = \frac{ ( x_2 + i y_2 ) ( x_1 - i y_1 ) }{ x_1^2 + y_1^2 }
  = \frac{ x_1 x_2 + y_1 y_2 }{ | z_1 |^2 } + i \frac{ x_1 y_2 - y_1 x_2 }{ | z_1 |^2 }

虚数 i 2 \times 2行列に直すことが出来るので、

\displaystyle
\vec{ v } = ( x, y )^T, \quad E = \pmatrix{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } , \quad I = \pmatrix{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
\\
\displaystyle
\frac{ \vec{ v }_2 }{ \vec{ v }_1 }
  = E \frac{ \vec{ v }_1 \cdot \vec{ v }_2 }{ v_1^2 } + I \frac{ {\rm det} ( \vec{v_1}, \vec{v_2} ) }{ v_1^2 }
  \equiv A
\\
\therefore
  \vec{ v }_2 = A \vec{ v }_1

これはベクトルの変換行列を求めたことに対応する。

\displaystyle
\cos\theta \equiv \frac{ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 }{ v_1 v_2 }
\\
\displaystyle
\sin\theta \equiv \frac{ {\rm det} ( \vec{v_1}, \vec{v_2} ) }{ v_1 v_2 }
\\
\displaystyle
\cos\theta^2 + \sin\theta^2
  = \frac{( x_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2 + 2 x_1 x_2 y_1 y_2 ) + ( x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_1^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 ) }{ ( x_1^2 + y_1^2 ) ( x_2^2 + y_2^2 ) } = 1
と定義すれば、回転行列を v_2 / v_1 でスケールした変換行列になることがわかる。


\displaystyle
A = E \frac{ v_2 }{ v_1 } \cos\theta + I \frac{ v_2 }{ v_1 } \sin\theta
  = \frac{ v_2 }{ v_1 } \pmatrix{ \cos\theta & - \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta }

ここまで、幾何学的な考察は行っていないが、sineが行列式で表せることが自然と出てきた。
まぁ当たり前と言えば当たり前だが、ちゃんと求まったのは嬉しい。