任意の二つの量を三角関数で表す

$\displaystyle a + b = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{ a }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } + \frac{ b }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } \right) \equiv r \left( \cos\delta + \sin\delta \right)$

この時、以下の関係を満たし、三角関数の枠内に収まる。
$\displaystyle 0 < \cos\delta < 1, \quad 0 < \sin\delta < 1, \\ \displaystyle \cos^2\delta + \sin^2\delta = \frac{ a^2 }{ a^2 + b^2 } + \frac{ b^2 }{ a^2 + b^2 } = 1$

振動を扱っていると、よく見かける変形である。

例えば、次のような同じ周期の三角関数の合成を考えると、
$\displaystyle a \cos\theta + b \sin\theta \equiv r \left( \cos\delta \cos\theta+ \sin\delta \sin\theta \right) = r \cos( \delta - \theta ) = r \cos( \theta - \delta )$
よって合成後に位相がずれるだけで済む。

位相のズレの大きさは、
$\displaystyle \delta = \tan^{-1}( \tan\delta ) = \tan^{-1}( b / a )$
で求まり、 $b \gg a$ のとき $\delta \sim \pi / 2$ であるから、 $\cos( \theta - \delta ) \sim \sin( \theta )$ のようにちゃんと $\sin$ 関数に引きずられることがわかる。