円運動

原点を中心とした円の軌跡 $\vec{r}$ は以下のように記述出来る。
$\displaystyle \vec{r} = ( x, y ) = ( r \cos\theta, r \sin\theta ) = r ( \cos\theta, \sin\theta ) = r \hat{ r }, \\ \displaystyle r = \left| \vec{ r } \right| = \sqrt{ x^2 + y^2 } = r \sqrt{ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta } = r \\ \displaystyle \hat{ r } = \frac{ \vec{ r } }{ \left| \vec{ r } \right| } = ( \cos\theta, \sin\theta )$

原点周りの円周上の運動を考える。そのため $r$ は定数で時間変化しないとし、角度 $\theta \equiv \theta(t)$ の時間微分を角速度 $\dot{ \theta}$ として定義する。（円運動を「角度のみが変化する運動」と言い換えても良いだろう。）

運動方程式の用途として、以下の二つが考えらえる。

力 → 軌跡（ $\vec{r}$ ）
軌跡（ $\vec{r}$ ）→ 力

通常は 1. のプロセスについて使われることが多い（「力がわかっていて、その場合の軌跡を求めよ」的な）。
ここでは 2. のプロセスを辿り、円運動を起こすために必要な力について考える。

まずは軌跡 $\vec{r}$ を時間微分する。
$\displaystyle \vec{ v } = \frac{ d }{ dt } \vec{ r } = r( - \dot{ \theta } \sin \theta, \dot{ \theta } \cos \theta ) = r \dot{ \theta } ( -\sin \theta, \cos \theta ) = v \hat{ v } \\ \displaystyle v = \left| \vec{ r } \right| = r \dot{ \theta } \sqrt{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta } = r \dot{ \theta } \\ \displaystyle \hat{ v } = \frac{ \vec{ v } }{ \left| \vec{ v } \right| } = ( -\sin \theta, \cos \theta )$

ここで、 $\hat{ r }$ と $\hat{ v }$ の間の角度がどうなっているかを調べるために、内積を取ると、
$\displaystyle \hat{ r } \cdot \hat{ v }= -\cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 0$
したがって、 $\vec{ r }$ と $\vec{ v }$ は直交している。
もう少し具体的に言えば、 $\hat{ v }$ は円弧上の点 $\vec{ r }$ における円に対する接線方向を表している。
また、角度変化 $\Delta \theta$ において $r \, \Delta \theta$ が円弧の長さを表すから、 $v = r \dot{ \theta }$ は円弧上で軌跡が動く速さを表している。

運動方程式にするために、もう一度時間微分する。
$\displaystyle \frac{ d }{ dt } \vec{ v } = r \ddot{ \theta } \hat{ v } + r \dot{ \theta } ( - \dot{ \theta } \cos \theta, - \dot{ \theta } \sin \theta ) = r \ddot{ \theta } \hat{ v } + r \left( \dot{ \theta } \right)^2 ( - \cos \theta, - \sin \theta ) \\ \displaystyle = r \ddot{ \theta } \hat{ v } + r \left( \dot{ \theta } \right)^2 \left( - \hat{ r } \right)$

したがって、運動方程式は
$\displaystyle m \frac{ d }{ dt } \vec{ v } = m r \ddot{ \theta } \hat{ v } + m r \left( \dot{ \theta } \right)^2 \left( - \hat{ r } \right) \equiv \vec{ f }_v + \vec{ f }_{ -r } \\ \displaystyle \vec{ f }_v = m r \ddot{ \theta } \hat{ v } \\ \displaystyle \vec{ f }_{ -r } = m r \left( \dot{ \theta } \right)^2 \left( - \hat{ r } \right)$
と表せる。
ここから、円運動をさせるためには、接線方向の力 $\vec{ f }_v$ と、原点方向の力（求心力） $\vec{ f }_{ -r }$ が必要なことがわかる。

特別な場合として、角速度が一定（ $\dot{ \theta } = \omega$ 、 $\ddot{ \theta } = 0$ ）な等速円運動を考える。
この時、 $\vec{ f }_v = m r \ddot{ \theta } \hat{ v } = 0$ であるから、「求心力 $\vec{ f }_{ -r } = mr \omega^2 \left( - \hat{ r } \right)$ のみが働く時、等速円運動が起こる」と言える。