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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Green関数の固有関数展開

前回、フーリエ変換の視点で自由Green関数を弄った。
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今回は、もっと一般的(?)にハミルトニアンの固有関数で展開することを考える。

\displaystyle
\left( E - H \right) G = 1
\\
\displaystyle
\left( E - \epsilon \right) < \epsilon | G | \epsilon' > = < \epsilon | \epsilon' >
\\
\displaystyle
\left( E - \epsilon \right) G( \epsilon, \epsilon' ) = \delta_{ \epsilon, \epsilon' }
\\
\displaystyle
\therefore G^{\pm}( \epsilon, \epsilon' ) = \frac{ \delta_{ \epsilon, \epsilon' } }{ E - \epsilon \pm i \eta }
  = G^{\pm}( \epsilon ) \delta_{ \epsilon, \epsilon' }
\\
\displaystyle
( \eta \rightarrow 0+ )

したがって、Green関数の位置表示は、

\displaystyle
G^{\pm}( {\bf r}, {\bf r}' ) = < {\bf r} | G | {\bf r}' >
\\
\displaystyle
  = \sum_{\epsilon} \sum_{\epsilon}' < {\bf r} | \epsilon > < \epsilon | G^{\pm} | \epsilon' > < \epsilon' | {\bf r}' >
\\
\displaystyle
  = \sum_{\epsilon} \sum_{\epsilon}' \psi_\epsilon( {\bf r } ) G^{\pm}( \epsilon, \epsilon' ) \psi^*_{\epsilon'}( {\bf r }' )
\\
\displaystyle
  = \sum_{\epsilon} \sum_{\epsilon}' \psi_\epsilon( {\bf r } ) G^{\pm}( \epsilon )  \delta_{\epsilon, \epsilon' } \psi^*_{\epsilon'}( {\bf r }' )
\\
\displaystyle
  = \sum_{\epsilon} \psi_\epsilon( {\bf r } ) G^{\pm}( \epsilon )  \psi^*_{\epsilon}( {\bf r }' )
\\
\displaystyle
  = \sum_{\epsilon} \frac{ \psi_\epsilon( {\bf r } ) \psi^*_{\epsilon}( {\bf r }' ) }{ E - \epsilon \pm i \eta }

自由電子の時には、運動エネルギーの固有状態表示で展開すれば良く、その時には、 \psi_{\bf k}( {\bf r } ) \psi^*_{\bf k}( {\bf r }' ) \propto e^{ i {\bf k} \cdot ( {\bf r} -{ \bf r}' ) } のように、相対位置にのみ依存するようになる。