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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

三角関数の相関関数

数学

以前の記事で、相関関数、及びそのガウス関数の時の振舞について調べた。
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ここでは三角関数（ \cos kx）を使って相関関数の振舞を調べる。

フーリエ変換の定義
\displaystyle f(k) = \int f(x) e^{ - i k x } dx, \qquad f(k) = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int f(k) e^{ i k x } dk

三角関数（ \cos kx）
\displaystyle f( x ) = \cos( k_0 x ) \rightarrow f( k ) = \pi ( \delta( k - k_0 ) + \delta( k + k_0 ) )

自己相関関数の定義
\displaystyle h_f( \xi ) = \int f( x ) f( x + \xi ) dx = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int s_f( k ) e^{ i k \xi } dk, \qquad s_f( k ) = \left| f( k ) \right|^2

スペクトルと自己相関関数
\displaystyle s_f( k ) = \pi^2 \delta( 0 ) ( \delta( k - k_0 ) + \delta( k + k_0 ) ) = \pi \delta( 0 ) f( k ) \\ \displaystyle \qquad \rightarrow h( \xi ) = \pi \delta( 0 ) \cos( k_0 \xi )
デルタ関数の二乗は以下のサイトを参照。
やっと「δ関数の２乗」：T_NAKAの阿房ブログ
無限空間の積分なので、自己相関は発散します。


相互相関関数の定義
\displaystyle h_{fg}( \xi ) = \int f( x ) g( x + \xi ) dx = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int s_{fg}( k ) e^{ i k \xi } dk, \qquad s_{fg}( k ) = f^*( k ) g( k )

三角関数
\displaystyle f( x ) = \cos( k_0 x ) \rightarrow f( k ) = \pi ( \delta( k - k_0 ) + \delta( k + k_0 ) ) \\ \displaystyle g( x ) = \cos( k_0 ( x - x_1 ) \rightarrow g( k ) = \pi ( \delta( k - k_0 ) + \delta( k + k_0 ) ) e^{ i k x_1 }

クロススペクトルと相互相関関数
\displaystyle s_{fg}( k ) = \pi^2 \delta( 0 ) ( \delta( k - k_0 ) + \delta( k + k_0 ) ) e^{ i k x_1 } = \pi \delta( 0 ) g( k ) \\ \displaystyle \qquad \rightarrow h_{fg}( \xi ) = \pi \delta( 0 ) \cos( k_0 ( \xi + x_1 ) )

コヒーレンスと位相
\displaystyle {\rm coh}^2_{fg}( k ) = \frac{ \left| s_{fg}( k ) \right|^2 }{ s_{f}( k ) s_{g}( k ) } = 1 \\ \displaystyle \theta_{fg}( k ) = \frac{ \Im s_{fg} }{ \Re s_{fg } } = k x_1
やはりズラした程度ではコヒーレンスは破れず、一方で位相は並行移動の情報を含んでいる。

追記：
コヒーレンスについて再考
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