散乱振幅からサイトT行列を復元する。

実験結果か何かで、散乱振幅 $f( \theta )$ の角度分布が得られているとする。
ここからサイト $T$ 行列を復元する方法を考える。
サイト $T$ 行列が求まれば、そこからArgand diagramを作って、（準）共鳴準位があるとかないとか、追加で情報が得られる（もし角度分布のエネルギー依存性まで測っていればの話だが、、、）。
サイト $T$ 行列のArgand diagramは前回紹介した方法が使える。
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散乱振幅は、以下の形で与えられる。
$\displaystyle f( \theta ) = \sum_l ( 2 l + 1 ) t_l P_l( \cos \theta )$

$P_l( \cos \theta )$ はLegendre多項式である。
Legendre多項式には、直交性が成り立つ。それは以前の記事で確認した。
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したがって、

$\displaystyle \int^1_{-1} d( \cos \theta ) f( \theta ) P_l( \cos \theta ) = \sum_{l'} ( 2 l' + 1 ) t_{l'} \int^1_{-1} d( \cos \theta ) P_{l'}( \cos \theta ) P_{l}( \cos \theta ) \\ \displaystyle = \sum_{l'} ( 2 l' + 1 ) t_{l'} \frac{ 2 }{ 2 l + 1 } \delta_{ l l' } = 2 t_l \\ \displaystyle \therefore t_l = \frac{ 1 }{ 2 } \int^1_{-1} d( \cos \theta ) f( \theta ) P_l( \cos \theta ) = \frac{ 1 }{ 2 } \int^1_{-1} dx \, f( \cos^{-1}( x ) ) \, P_l( x )$

例えば、角運動量 $l = 2$ のサイト $T$ 行列 $t_2$ のみからなる散乱振幅の角度分布は次のようになる。
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当たり前であるが、思いっ切り $P_2( \cos \theta )$ の形である。
この時、 $t_2 = 0.1234 + 0.5678 i$ と適当に設定したが、導出した式からちゃんと $t_2$ が復元されることが以下のソースで確認出来る。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import legendre
from scipy.integrate import quad

def Plx( l, x ):
    return legendre( l )( x )

cp_f = 1.
t_2 = 0.1234 + 0.5678j
f = lambda theta: cp_f * ( 2 * 2 + 1 ) * t_2 * Plx( 2, np.cos( theta ) )
thetas = np.linspace( 0., 2. * np.pi, 100 )

fig = plt.figure( figsize = ( 4.72, 4.72 ) )
ax = fig.add_subplot( 1, 1, 1, polar = True )
ax.plot( thetas, abs( f( thetas ) ) )
plt.show()
#plt.savefig( 'scattering_amplitude_2.png' )
#plt.close()

r0 = quad( lambda x: np.real( f( np.arccos( x ) ) * Plx( 0, x ) ), -1, 1 )[ 0 ] / ( 2 * cp_f )
i0 = quad( lambda x: np.imag( f( np.arccos( x ) ) * Plx( 0, x ) ), -1, 1 )[ 0 ] / ( 2 * cp_f )
print( r0, i0 )
# 0.0, 0.0

r2 = quad( lambda x: np.real( f( np.arccos( x ) ) * Plx( 2, x ) ), -1, 1 )[ 0 ] / ( 2 * cp_f )
i2 = quad( lambda x: np.imag( f( np.arccos( x ) ) * Plx( 2, x ) ), -1, 1 )[ 0 ] / ( 2 * cp_f )
print( r2, i2 )
# 0.1234, 0.5678

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

散乱振幅からサイトT行列を復元する。