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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

デルタ関数のエンタングルメントを完備関係式で断つ？

数学 量子力学

例えば球面調和関数

\displaystyle \begin{align} \delta( \hat{\bf r} - \hat{\bf r}' ) &= \delta( \hat{\bf r}' - \hat{\bf r} ) \\ &= \sum_L Y_{L} ( \hat{\bf r} ) Y^*_L ( \hat{\bf r}' ) = \sum_L Y^*_{L} ( \hat{\bf r} ) Y_L ( \hat{\bf r}' ) \\ &= \sum_L Y_{L} ( \hat{\bf r}' ) Y^*_L ( \hat{\bf r} ) = \sum_L Y^*_{L} ( \hat{\bf r}' ) Y_L ( \hat{\bf r} ) \end{align}

これはある意味 \hat{\bf r},\, \hat{\bf r} のエンタングルメントを断ったと言えるか？
添字が一個なので、ベクトルに拡張すれば、

\displaystyle \begin{align} \delta( \hat{\bf r} - \hat{\bf r}' ) = \left( Y_{L_1} ( \hat{\bf r} ), Y_{L_2} ( \hat{\bf r} ), \cdots \right) \left( \begin{array}{c} Y^*_{L_1}( \hat{\bf r}' ) \\ Y^*_{L_2}( \hat{\bf r}' ) \\ \vdots \end{array} \right) = \left( Y^*_{L_1} ( \hat{\bf r} ), Y^*_{L_2} ( \hat{\bf r} ), \cdots \right) \left( \begin{array}{c} Y_{L_1}( \hat{\bf r}' ) \\ Y_{L_2}( \hat{\bf r}' ) \\ \vdots \end{array} \right) \\ = \left( Y_{L_1} ( \hat{\bf r}' ), Y_{L_2} ( \hat{\bf r}' ), \cdots \right) \left( \begin{array}{c} Y^*_{L_1}( \hat{\bf r} ) \\ Y^*_{L_2}( \hat{\bf r} ) \\ \vdots \end{array} \right) = \left( Y^*_{L_1} ( \hat{\bf r}' ), Y^*_{L_2} ( \hat{\bf r}' ), \cdots \right) \left( \begin{array}{c} Y_{L_1}( \hat{\bf r} ) \\ Y_{L_2}( \hat{\bf r} ) \\ \vdots \end{array} \right) \end{align}

よって、ある種の行列化によって変数分離が可能である。ポイントは、もともと行列ではなくただの数だったので、「左に横ベクトル・右に縦ベクトル」の順番は変更出来ないという点である。
あまりエンタングルメントについて詳しくない（というか無知に等しい）が、エンタングルメントを断つ（解す）とは多分こういうことなのかと。
上では非局所相関を局所相関の積で表すというようなことをしたわけだが、この結果を用いると、いわゆる多重極展開と呼ばれる、動径成分と立体角成分に分ける展開が可能になる。
（これもある種のエンタングルメント解しか？）

\displaystyle \begin{align} F( r, \hat{\bf r} ) &= \int F( r, \hat{\bf r}' ) \delta( \hat{\bf r} - \hat{\bf r}' ) d \hat{\bf r}' = \int F( r, \hat{\bf r}' ) \sum_L Y_{L} ( \hat{\bf r} ) Y^*_L ( \hat{\bf r}' ) d \hat{\bf r}' \\ &= \sum_L \left( \int F( r, \hat{\bf r}' ) Y^*_L ( \hat{\bf r}' ) d \hat{\bf r}' \right) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \equiv \sum_L f_L( r ) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \\ &= \left( f_{L_1}( r ), f_{L_2}( r ), \cdots \right) \left( \begin{array}{c} Y_{L_1}( \hat{\bf r} ) \\ Y_{L_2}( \hat{\bf r} ) \\ \vdots \end{array} \right) \end{align}

これは「連続量の相関を離散量の話に置き換える」と言えるだろうか？
ちなみに逆もおそらく可能（離散量の相関を連続量の話に置き換える）。

\displaystyle \begin{align} \delta_{ L, L' } &= \int d \hat{\bf r} Y^*_L( \hat{\bf r} ) Y_{L'}( \hat{\bf r} ) \\ g_{N L} &= \sum_{L'} g_{NL'} \delta_{L' L} = \sum_{L'} g_{N L'} \int d \hat{\bf r} Y^*_{L'}( \hat{\bf r} ) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \\ &= \int d \hat{\bf r} \left( \sum_{L'} g_{N L'} Y^*_{L'}( \hat{\bf r} ) \right) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \equiv \int d \hat{\bf r} G_{N}( \hat{\bf r} ) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \end{align}

連続と離散の絡み合いは楽しいので、もっと深めて行きたい。