平方根の行列表現

平方根を評価するのに、級数展開以外のもので何か無いか考えた時に、虚数の行列表現を思い出した。

とりあえず $\sqrt{2}$ に対応する行列を求めたい。
つまり、二乗したら単位行列に2をかけたものを返す行列を考える。

$\displaystyle \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)^2 = \left( \begin{array}{cc} a^2 + bc & b ( a + d ) \\ c ( a + d ) & d^2 + bc \end{array} \right) \end{align}$

ここで非対角成分を消すために $b = c = 0$ としてしまうと、 $a^2=d^2=\sqrt{2}$ となって全く面白くない。
そのため $a + d=0$ の時の行列を探す。
この時、 $bc = 2 - a^2$ という条件しか出て来ないため、一意には決まらないことがわかる。
とりあえず、 $a = 0, c = 1$ を課せば、

$\displaystyle \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{align}$

が $\sqrt{2}$ に対応した行列になる。
$b$ と $c$ を入れ替えた転置の表式でも二乗して同じ値になる。
もし仮に $a = 1$ とした時には、

$\displaystyle \begin{align} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \sigma_3 + \sigma_1 \end{align}$