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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

第二量子化と場の演算子と波動関数

場の演算子波動関数の概念が、微妙に繋がりにくかった思いがある。
ここでは簡単にシステマティックなノリの繋がりを述べることにする。

第二量子化波動関数の展開係数を量子化(離散化)


\displaystyle
\phi( r ) = \sum_{\alpha} c_{\alpha} u_{\alpha}( r ) 
\\
\displaystyle
\downarrow
\\
\displaystyle
\hat{\psi}( r ) = \sum_{\alpha} u_{\alpha}( r ) a_{\alpha}

慣習として、第一量子化の時は展開係数は基底関数の前で、第二量子化して生成消滅演算子になると基底関数の後ろに来るが、個人的に対応関係がわかりにくくなるため、誰か一言言わないものかなと思っていた。

ここで、場の演算子波動関数を考えるが、そもそも第二量子化の時の波動関数の表現が、


\displaystyle
u_{\alpha}( r ) = < r | \alpha > = < r | a^{\dagger}_{\alpha} | 0 >

であるから、


\displaystyle
\psi( r ) = < r | \hat{ \psi }^{\dagger}( r' ) | 0 > = < r | \sum_{\alpha} u^*_{\alpha}( r' ) a^{\dagger}_{\alpha} | 0 >
 = \sum_{\alpha} u^*_{\alpha}( r' ) < r | a^{\dagger}_{\alpha} | 0 > 
\\
\displaystyle
= \sum_{\alpha} u^*_{\alpha}( r' ) u_{\alpha}( r ) = \delta( r' - r )

となる。
なので、「場の演算子によって粒子を生成する」とは、本当に「その場」にだけ粒子を足すことを表している。波動性はゼロである。
粒子を足すと言っても、「エネルギー \varepsilonの粒子を系に足す(波動性有り)」とか色々あり、そっちで場の演算子をイメージしてしまうと、元々の生成消滅演算子は何のためになるのか?等、意味がわからなくなる。

しかし、全然数式が綺麗に書けないのは何故なのだろうか。。。困る。。。