PythonのLaguerre陪関数について

Wikipediaには日頃からよくお世話になっているが、自分で確認するのは大事だなと感じた事件。

水素原子の波動関数の可視化とかカッコイイなぁと思い、ネットサーフィン中に以下のサイト様を訪問。
scipyの特殊関数 - 篠突く雨の日記

自分も早速コピーしてやってみて、ふむふむと散布図の便利さに舌鼓を打っていた。
ちょっとアレンジして、波動関数の正負で色を変えるようにしたら気付いてしまった。
「ん？1s波動関数に節があんぞ？？」
波動関数の部分はscipy.special.assoc_laguerreで実装されていて、原因はこいつであることがわかった。
何か引数がおかしいのかと思い、Wikipediaで水素原子の解析解におけるLaguerre陪関数を確認。
水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解 - Wikipedia
$\displaystyle \rho \frac{ d^{ 2 } u( \rho ) }{ d\rho^{ 2 } } + ( 2l + 2 - \rho ) \frac{ d u( \rho ) }{ dx } + ( n - l - 1 ) u( \rho ) = 0 \\ \displaystyle \rho \frac{ d^{ 2 } u( \rho ) }{ d\rho^{ 2 } } + ( ( 2l + 1 ) + 1 - \rho ) \frac{ d u( \rho ) }{ dx } + ( ( n + l ) - ( 2l + 1 ) ) u( \rho ) = 0 \\ \displaystyle u( \rho ) = c L^{ 2 l + 1 }_{ n + l }( \rho ) \\ \displaystyle L^m_k( \rho ) = \frac{ d^m }{ d\rho^m } e^{ \rho } \frac{ d^k }{ d\rho^k } ( e^{ -\rho } \rho^k ) \\$
Legendreではlとmは直接打ち込めば良かったけど、Laguerreはそういえばややこしかったんだよなぁ、と遠い記憶が蘇ってきた。
しかし、可視化スクリプトの引数はこれと対応したものが入っている。
実は上付きと下付きは逆の表記になっているとかあるか？？と思い、他も参照。

ラゲールの陪多項式 - Wikipedia
$\displaystyle \left( x \frac{ d^{ k + 2 } }{ dx^{ k + 2 } } + ( k + 1 - x ) \frac{ d^{ k + 1 } }{ dx^{ k + 1 } } + ( n - k ) \frac{ d^k }{ dx^k } \right) L^k_n( x ) = 0 \\ \displaystyle L^k_n( x ) = \frac{ d^{ k } }{ dx^{ k } } L_n( x ) = \frac{ d^{ k } }{ dx^{ k } } \left( e^x \frac{ d^{ n } }{ dx^{ n } } ( x^n e^{ -x } ) \right)$
上がkだったり下がkだったりしてめちゃくちゃややこしいが、とりあえずLaguerre多項式（下付き添字のみ）を上付き添字の分だけ微分しまくるのが陪関数であることがわかった。
その意味で、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解 - Wikipediaの上付き下付きの意味はラゲールの陪多項式 - Wikipediaと同じ。

scipy.special.assoc_laguerreのサイトに行ってみた。
scipy.special.assoc_laguerre — SciPy v1.1.0 Reference Guide
見る限り、スクリプトの引数の順番も間違っていなさそうだった。

しかし、

scipy.special.assoc_laguerre( x, n + l, 2 * l + 1 )

はn=1, l=0で $-x + 1$ のプロットを示し、意味不明。

そして英語版のwikipediaに辿り着く。
Laguerre polynomials - Wikipedia
$\displaystyle xy'' + ( \alpha + 1 - x ) y' + \beta y = 0 \\ \displaystyle L^{ ( \alpha ) }_0( x ) = 1 \\ \displaystyle L^{ ( \alpha ) }_1( x ) = 1 + \alpha - x$
これや、、、これやったんや。。。

つまり、scipy.special.assoc_laguerreを水素様原子の波動関数に使うには、
$\displaystyle L^{ \alpha }_{ \beta } = L^{ 2 l + 1 }_{ n - l - 1 }$
ということになる。
確かにこれで1s (n=1, l=0)の時 $L^1_0 = 1$ となり、めでたく波動関数の節が無くなる。