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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

相互作用表示と摂動展開とDyson級数

q-number(演算子)をハットで表そうとしたらめっちゃズレるので、c-number(演算子じゃない普通の数)は小文字、q-numberは大文字で表すことにする。

 Z = e^{ \alpha ( X  + Y  ) }
 O_X ( \alpha ) \equiv e^{ - \alpha X } O e^{ \alpha X }

とし、

 Z = e^{ \alpha ( X + Y ) } = e^{ \alpha X } F( \alpha )

と書けるとするならば、 F( \alpha )はどんな形になるか?ということを考える。
多分これを摂動展開と呼んでいる気がする。
ベーカー・ハウスドルフの定理を使えば、

 Z = e^{ \alpha ( X + Y ) } = e^{ \alpha X } e^{ \alpha Y } e^{ \frac{1}{2} \alpha [ X, Y ] }
 F( \alpha ) = e^{ \alpha Y } e^{ \frac{1}{2} \alpha [ X, Y ] }

と、簡単に求まったように見えるかもしれないが、実際に計算しようとすると指数を級数展開しなきゃいけなかったり、そもそも交換子 [ X, Y ]が求まらないとどうしようもなかったりして、解析的に計算出来る時以外は結構不便。

交換子を出現させずに何か表式が得られるといいなぁというノリで何か方法ないか考える。
それでその取っ掛かりとして Z \alpha微分すると、定義から2パターンの形が得られる。

 \frac{ \partial Z }{ \partial \alpha } = ( X + Y ) e^{ \alpha ( X + Y ) } = ( X + Y ) e^{ \alpha X } F( \alpha )
 \frac{ \partial Z }{ \partial \alpha } =  [ \frac{ \partial }{ \partial \alpha } e^{ \alpha X } ] F( \alpha ) + e^{ \alpha X } \frac{ \partial F }{ \partial \alpha } = X e^{ \alpha X } F( \alpha ) + e^{ \alpha X } \frac{ \partial F( \alpha ) } { \partial \alpha }

したがって、

 Y e^{ \alpha X } F( \alpha ) = e^{ \alpha X } \frac{ \partial F } { \partial \alpha }
 \frac{ \partial F } { \partial \alpha } = e^{ - \alpha X } Y e^{ \alpha X } F( \alpha ) = Y_X (\alpha) F( \alpha )

ここまで来ると、相互作用表示でお馴染みの方程式と同じ形になっていることに気づく。

 \frac{ \partial U_I } { \partial ( - i t / \hbar ) } = i \hbar \frac{ d U_I } { dt  }= e^{ i H_0 t / \hbar } V e^{ - i H_0 t / \hbar } U_I = V_I U_I

これを適当な境界条件積分して逐次代入するとDyson級数が得られる。

よって、 H = H_0 + V を丸ごと使って時間発展するハイゼンベルグ表示から、 H_0だけで時間発展する部分を抜き出した摂動展開をすると、相互作用表示が与えらえることが直接的に示せた。
つまり、

 U_H (t) = e^{ - i ( H_0 + V ) t / \hbar } = e^{ - i H_0 t / \hbar } U_I (t)

シュレーディンガー方程式から出発した、相互作用表示の導出に特化した方法がサクライに載っているが、それだと摂動展開とイマイチ繋がらなかったので、スッキリしました。