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量子力学、固体物理、fortran、python、etc

条件反射シリーズ:ガンマ関数

 x e^xが一緒に入っている積分
ガンマ関数に持って行けないか、疑ってみましょう。

ちなみにガンマ関数の定義は、
 \Gamma (n) = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx

 xの指数が n-1だったか nだったかややこしいし、 eの肩がプラスだったかマイナスだったか忘れるけど、とにかく

 x e^xの組み合わせ =>  \Gamma (n)

と思っておけば見通しは良いはず。
ガンマ関数を使いそうと思ってからググっても遅くはないはず。

例:Sommerfeld展開で見かけるあいつ

 \displaystyle
\int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} }{ e^x + 1 } dx

ガンマ関数にまとめるために、 e^x e^{-x}の形に持って行けるように変形します。

 \displaystyle
\int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} e^{-x} }{ 1 + e^{-x} } dx

 e^{-x}の形にするために、分数を級数展開します。

 \displaystyle
\frac{ 1 }{ 1 - ( - e^{-x} ) } = \sum^{\infty}_{m=1} ( - e^{-x} )^{m-1}

これにより e^{-mx}とまとまりますが、前に掛かっている xと指数の肩を合わせるために、 y = mx積分変数の変換を行うと、 dx = dy / mに注意して、


\displaystyle \sum^{\infty}_{m=1} \frac{ (-1)^{m-1} }{ m^n } \int_0^{\infty} y^{n-1} e^{-y} dy
\displaystyle  = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{ (-1)^{m-1} }{ m^n } \Gamma( n )

という感じで、ガンマ関数にまとめることが出来ました。めでたし。
それで、前に掛かってる奴は、見るからにゼータ関数 \zeta(n) = \sum^{\infty}_{m=1} 1 / m^nを含んでいるので、この形に持って行くと、


\displaystyle \sum^{\infty}_{m=1} ( \frac{ 1 }{ m^n } - 2\frac{ 1 }{ (2m)^n } ) \Gamma( n )
\displaystyle = ( 1 - \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } ) \zeta( n ) \Gamma( n )

となり、具体的な nの値に対して関数は求まっているので、計算が出来るということになります。


追記:


\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} }{ e^{x} + 1 } dx
\displaystyle = ( 1 - \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } ) \zeta( n ) \Gamma( n )
から分かる通り、ゼータ関数とガンマ関数は繋がる。
積分の分母が +1じゃなくて、 -1のとき、分数の級数展開にはマイナスは出て来ないから、もの凄くストレートに


\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} }{ e^{x} - 1 } dx
\displaystyle = \zeta( n ) \Gamma( n )

となる。