条件反射シリーズ：ガンマ関数

$x$ と $e^x$ が一緒に入っている積分：
ガンマ関数に持って行けないか、疑ってみましょう。

ちなみにガンマ関数の定義は、
$\Gamma (n) = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx$

$x$ の指数が $n-1$ だったか $n$ だったかややこしいし、 $e$ の肩がプラスだったかマイナスだったか忘れるけど、とにかく

$x$ と $e^x$ の組み合わせ => $\Gamma (n)$

と思っておけば見通しは良いはず。
ガンマ関数を使いそうと思ってからググっても遅くはないはず。

例：Sommerfeld展開で見かけるあいつ

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} }{ e^x + 1 } dx$

ガンマ関数にまとめるために、 $e^x$ を $e^{-x}$ の形に持って行けるように変形します。

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} e^{-x} }{ 1 + e^{-x} } dx$

$e^{-x}$ の形にするために、分数を級数展開します。

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 1 - ( - e^{-x} ) } = \sum^{\infty}_{m=1} ( - e^{-x} )^{m-1}$

これにより $e^{-mx}$ とまとまりますが、前に掛かっている $x$ と指数の肩を合わせるために、 $y = mx$ の積分変数の変換を行うと、 $dx = dy / m$ に注意して、

$\displaystyle \sum^{\infty}_{m=1} \frac{ (-1)^{m-1} }{ m^n } \int_0^{\infty} y^{n-1} e^{-y} dy \displaystyle = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{ (-1)^{m-1} }{ m^n } \Gamma( n )$

という感じで、ガンマ関数にまとめることが出来ました。めでたし。
それで、前に掛かってる奴は、見るからにゼータ関数 $\zeta(n) = \sum^{\infty}_{m=1} 1 / m^n$ を含んでいるので、この形に持って行くと、

$\displaystyle \sum^{\infty}_{m=1} ( \frac{ 1 }{ m^n } - 2\frac{ 1 }{ (2m)^n } ) \Gamma( n ) \displaystyle = ( 1 - \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } ) \zeta( n ) \Gamma( n )$

となり、具体的な $n$ の値に対して関数は求まっているので、計算が出来るということになります。

追記：

$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{ x^{n-1} }{ e^{x} + 1 } dx \displaystyle = ( 1 - \frac{ 1 }{ 2^{n-1} } ) \zeta( n ) \Gamma( n )$
から分かる通り、ゼータ関数とガンマ関数は繋がる。
積分の分母が $+1$ じゃなくて、 $-1$ のとき、分数の級数展開にはマイナスは出て来ないから、もの凄くストレートに