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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

奇数次元の虚数について

数学

虚数 iは二次元の正方行列を用いて、

i_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

と書ける。
では、三次元の正方行列で二乗したら単位行列にマイナスの掛かったものが得られるかをボンヤリ考えたところ、

i_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

しか思いつかんかった。この iを二次元 i_2と思えば、super matrixと解釈して各行列要素が二次元正方行列に拡張出来るから、

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

ちゃんと二乗するとマイナス単位行列になる。もちろん、基底を組み替えたものに対応した、

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

もちゃんとなるし、どちらかというとこっちの方が帰納的でしっくり来るだろう。

でも、最初の三次元の iを自分自身の i_3で置き換えると無限に行列の次元が増えていく。
世界の自己相似性に奇数次元であることが絡んでいると面白そうだなぁと思った次第である。