nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

量子力学

三つの散乱波動関数

前回、位相シフトと行列の関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com散乱波動関数は、ざっくり3つに分けられると思うので、それぞれまとめてみた。 結局は、位相シフトで全部繋がる。 散乱振幅 位相シフト Green関数(Lippman-Scwinger方程式解)

散乱理論:位相シフトとT行列

外側で値を持たないポテンシャルに対する外側の波動関数は、一般に次のように書ける。 平面波の球面波展開と比較すれば、動径S-eq.の非正則解の線形結合になっていて、一般解の形になっているのがわかると思う。 であるため、この変換は厳密である。 (わざ…

多重項を数える(1)

前回、binary表現を使って、電子配置を作ることを試みた。 koideforest.hatenadiary.com次のステップとして多重項を数え上げるため、電子配置を作るのと同時に角運動量とスピンも一緒にリストで保存するように改良した。 def add_electron( configurations0,…

バイナリーと量子力学

例えば2p軌道とかのp軌道の場合、一電子状態は以下のどれかに対応する。(1,u), (1, d), (0, u), (0, d), ( -1, u), ( -1, d)これを、binary形式、「電子がいる軌道=1」、「電子がいない軌道=0」とすれば、例えば、(1,u)と(1, d)が占有されているとき、110000…

3価のTiイオンのLII, LIII端における原子多重項遷移

Tiの自由イオン状態のedgeは三本のピークが立つ。Tiは基底状態で3dが空っぽなので、基底状態の多重項はとなる。 (多重項はで表される。ただし、をで表す。)edgeでは、2pにホールが開いて、3dに電子が一個足されるので、 電子配置:2p3d 出現する多重項は、…

Green関数の固有関数展開

前回、フーリエ変換の視点で自由Green関数を弄った。 koideforest.hatenadiary.com今回は、もっと一般的(?)にハミルトニアンの固有関数で展開することを考える。 したがって、Green関数の位置表示は、 自由電子の時には、運動エネルギーの固有状態表示で…

自由電子Green関数のFourier変換

パッと探したところ と出来る理由が見当たらなかったので、真面目に計算してみた。 (もちろん、ハミルトニアンの並進対称性から明らかなのはわかっているが、真面目な方法でやって同じ答えになるはずである)Diracのbraket表示を使って、演算子の方程式から…

自由電子Green関数の部分波展開

Hartree原子単位系以下、これを証明する。フーリエ変換を使って、微分方程式を解く。 平面波の角運動量展開 パリティ対称性 より、被積分関数はに対して偶関数。よって、 球ベッセル関数は特異点を持たないので、分母にのみ特異性がある。 これを利用して、…

部分散乱振幅(サイトT行列)のアーガンド図

仕事で図を作る必要があったので、練習がてらまとめた。位相シフトなどの概念にについては、wikipedia等を参照して頂きたい。 散乱振幅 - Wikipedia 簡単に言うと、「ポテンシャルが無い時の波は、ポテンシャルによってどれくらい変調されたか?」を表す量で…

第二量子化と場の演算子と波動関数

以前、第二量子化についての記事を書いたが、誤って消してしまったので、再度投稿。任意の波動関数を、基底関数で展開し、その展開係数をとする。 これに対応する場の演算子は、消滅演算子を用いて、次のように書ける。したがって、第二量子化は展開係数を量…

水素様原子波動関数 (python)

以前、pythonにおける水素様原子のためのLaguerre陪関数について確認した。 koideforest.hatenadiary.comせっかくなので、pythonで規格化まで含めた水素様原子波動関数のスクリプト(原子単位系)を作った。 from scipy.special import assoc_laguerre from …

X線吸収の多重散乱理論でよく使いそうな関数 (python)

ほぼ自分用のメモ from scipy.special import spherical_jn, spherical_yn, sph_harm from sympy import * from sympy.physics.wigner import clebsch_gordan, gaunt # spherical Bessel function def jl( l, rho ): return spherical_jn( l, rho ) # spheri…

メタン(CH4)の分子軌道とLiebフラットバンド

四つ足で御馴染みのメタンの分子軌道が、固体におけるLiebフラットバンドが現れる構造と同じということで、テンションが上がった。以下の簡単な飛び移りだけを考えたハミルトニアン行列の固有値と固有ベクトルを求める。 対角成分(各原子上でのエネルギー)…

Møller wave operator における 加藤の連鎖律(?)

N粒子系における二体ポテンシャルを、粒子ペアに番号を付けて、その間の相互作用の和()として定義する。二体ポテンシャルとしたが、結局は相互作用に何かしら番号が付けられて、全体がその和として与えらえるのであれば、いろんな応用が考えられる(と思う…

球対称関数を別の位置で球平均する

を原点から測った距離とし、原点から見て球対称な関数をとする。 原点から見て位置にあるサイトがあるとする。 サイトを原点に取り直した任意の位置ベクトルをと定義する。 やりたいことは、をサイトから見ると球対称ではないので、サイトから見たときの球対…

デルタ関数のエンタングルメントを完備関係式で断つ?

例えば球面調和関数これはある意味のエンタングルメントを断ったと言えるか? 添字が一個なので、ベクトルに拡張すれば、よって、ある種の行列化によって変数分離が可能である。ポイントは、もともと行列ではなくただの数だったので、「左に横ベクトル・右に…

Gaunt積分のまとめ

Gaunt積分の自分的メモ。 Clebsch–Gordan coefficients - Wikipedia 3-j symbol - WikipediaGaunt積分(多分一般的な呼び名ではない。が、自分の分野ではよく出てくる。) Gaunt係数(Wikipediaとかに載っているのはこっち。) Clebsh-Gordan係数と3j記号の…

sympyの虚数単位を通常に戻してnumpyが使えるようにする

sympy moduleを一部使ってゴニョゴニョ計算させて、それを元にnumpy moduleで処理(例えば逆行列計算)させようとした時に虚数単位が引っかかって怒られることがあった。 sympyの代数表記を数値表記に戻す方法として"N()"や"~.evalf()"があるが、これではsym…

ローレンツ変換行列要素における反変・共変の関係

反変ベクトルに対する変換行列と共変ベクトルに対する変換行列は、計量テンソルで以下のように結び付けられる。しかし、やっぱりわかったようなわからないような、という感じに苛まれる。 ここでと定義すると、以下のような関係であることがわかる。つまり、…

特殊相対論の計量テンソルと4元ベクトルの内積

計量テンソルを以下のように定義。それで以下の4元ベクトルの内積が、ローレンツ変換で不変であることが特殊相対論の特徴であった。で、これはアインシュタインの規約を用いているから実際には和である。 しかし、頭ではわかっているのだが、心がどうも胡散…

ASE: 構造クラスターを得るスクリプト

半径Rの構造クラスターをASEで作る。 例として単体アルミニウムを使う。 import math from ase.spacegroup import crystal from ase.visualize import view # parameters LC = 4.05 R = 7. NSL = math.ceil( 2. * R / LC ) # make bulk structure aluminium …

ASE: 窒素分子のCu(111)の二原子層における吸着構造の最適化

Python module のASE を使って、吸着構造を最適化。 ここでは簡単な有効媒質理論を使うが、calculatorを選ぶことで、AbinitとかVASPとかも使えるらしい。 Introduction: Nitrogen on copper — ASE documentation 元サイトのチュートリアルに少し追加して、吸…

Path operator と Coherent Potential Approximation (CPA) (誤り)

#このページは誤っています。Path operator を次のように用意しておく。誤り(一般的なPath operatorの定義ではない。) 誤りはサイト間の移動、はサイト上での繰り込まれた相互作用(site T matrix)を表すとする。 後のためにを一応、site potential を使…

グランドカノニカル平均からのKeldysh形式に移る前の導入の不満

参考文献:"Nonequilibrium Green's Functions Approach to Inhomogeneous Systems", Karsten Blazer and Michael Bonitz (Springer 2013). 該当箇所:2.1.1 Keldysh Contourこの手のもので自分が最初に詰まってしまうのは、 ハミルトニアンが時間に依存して…

調和振動子と平面波の比較

零点振動している調和振動子と同じエネルギーを持つ平面波とで波動関数を比較する。 最後ら辺、サボりました。ここで、として自由平面波のエネルギーを代入して、波数と有効距離を結びつけると、 綺麗に有効距離の逆数になる。これで求めたを持つ平面波()…

PythonのLaguerre陪関数について

Wikipediaには日頃からよくお世話になっているが、自分で確認するのは大事だなと感じた事件。水素原子の波動関数の可視化とかカッコイイなぁと思い、ネットサーフィン中に以下のサイト様を訪問。 scipyの特殊関数 - 篠突く雨の日記自分も早速コピーしてやっ…

モンテカルロ積分で水素原子のエネルギー期待値を確認

「スレーター型軌道の数値積分は大変」と呪文のように聞かされて続けて心にハードルが出来てしまったので、ここらで打破することを試みた。 前回、多次元のモンテカルロ積分をまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回はスクリプトを組んで、どれくらい…

モンティ・ホール問題とシュテルン=ゲルラッハの実験

モンティ・ホール問題 モンティ・ホール問題 - Wikipedia モンティとはテレビの司会者的な存在らしい。 ルールは以下の通り。(1) 3つのドア (A, B, C) に(景品、ヤギ、ヤギ)がランダムに入っている。 (2) プレーヤーはドアを1つ選ぶ。 (3) モンティは残り…

分子分母が多項式の関数におけるゼロ近傍の極限

そもそも分子分母が多項式の時点でやる気がなくなる。すごくやりたくない。苦手意識が強い。 でも多分それは処方箋が頭に入っていないだけ。 今回は対処法を簡単に考察する。例えば、球ベッセル関数を球ノイマン関数で割ったものにおける原点近傍の振舞が知…

相互作用表示と摂動展開とDyson級数

q-number(演算子)をハットで表そうとしたらめっちゃズレるので、c-number(演算子じゃない普通の数)は小文字、q-numberは大文字で表すことにする。 とし、と書けるとするならば、はどんな形になるか?ということを考える。 多分これを摂動展開と呼んでい…