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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

量子力学

Møller wave operator における 加藤の連鎖律(?)

N粒子系における二体ポテンシャルを、粒子ペアに番号を付けて、その間の相互作用の和()として定義する。二体ポテンシャルとしたが、結局は相互作用に何かしら番号が付けられて、全体がその和として与えらえるのであれば、いろんな応用が考えられる(と思う…

球対称関数を別の位置で球平均する

を原点から測った距離とし、原点から見て球対称な関数をとする。 原点から見て位置にあるサイトがあるとする。 サイトを原点に取り直した任意の位置ベクトルをと定義する。 やりたいことは、をサイトから見ると球対称ではないので、サイトから見たときの球対…

デルタ関数のエンタングルメントを完備関係式で断つ?

例えば球面調和関数これはある意味のエンタングルメントを断ったと言えるか? 添字が一個なので、ベクトルに拡張すれば、よって、ある種の行列化によって変数分離が可能である。ポイントは、もともと行列ではなくただの数だったので、「左に横ベクトル・右に…

Gaunt積分のまとめ

Gaunt積分の自分的メモ。 Clebsch–Gordan coefficients - Wikipedia 3-j symbol - WikipediaGaunt積分(多分一般的な呼び名ではない。が、自分の分野ではよく出てくる。) Gaunt係数(Wikipediaとかに載っているのはこっち。) Clebsh-Gordan係数と3j記号の…

sympyの虚数単位を通常に戻してnumpyが使えるようにする

sympy moduleを一部使ってゴニョゴニョ計算させて、それを元にnumpy moduleで処理(例えば逆行列計算)させようとした時に虚数単位が引っかかって怒られることがあった。 sympyの代数表記を数値表記に戻す方法として"N()"や"~.evalf()"があるが、これではsym…

ローレンツ変換行列要素における反変・共変の関係

反変ベクトルに対する変換行列と共変ベクトルに対する変換行列は、計量テンソルで以下のように結び付けられる。しかし、やっぱりわかったようなわからないような、という感じに苛まれる。 ここでと定義すると、以下のような関係であることがわかる。つまり、…

特殊相対論の計量テンソルと4元ベクトルの内積

計量テンソルを以下のように定義。それで以下の4元ベクトルの内積が、ローレンツ変換で不変であることが特殊相対論の特徴であった。で、これはアインシュタインの規約を用いているから実際には和である。 しかし、頭ではわかっているのだが、心がどうも胡散…

ASE: 構造クラスターを得るスクリプト

半径Rの構造クラスターをASEで作る。 例として単体アルミニウムを使う。 import math from ase.spacegroup import crystal from ase.visualize import view # parameters LC = 4.05 R = 7. NSL = math.ceil( 2. * R / LC ) # make bulk structure aluminium …

ASE: 窒素分子のCu(111)の二原子層における吸着構造の最適化

Python module のASE を使って、吸着構造を最適化。 ここでは簡単な有効媒質理論を使うが、calculatorを選ぶことで、AbinitとかVASPとかも使えるらしい。 Introduction: Nitrogen on copper — ASE documentation 元サイトのチュートリアルに少し追加して、吸…

第二量子化と場の演算子と波動関数

場の演算子と波動関数の概念が、微妙に繋がりにくかった思いがある。 ここでは簡単にシステマティックなノリの繋がりを述べることにする。第二量子化:波動関数の展開係数を量子化(離散化)慣習として、第一量子化の時は展開係数は基底関数の前で、第二量子…

Path operator と Coherent Potential Approximation (CPA) (誤り)

#このページは誤っています。Path operator を次のように用意しておく。誤り(一般的なPath operatorの定義ではない。) 誤りはサイト間の移動、はサイト上での繰り込まれた相互作用(site T matrix)を表すとする。 後のためにを一応、site potential を使…

グランドカノニカル平均からのKeldysh形式に移る前の導入の不満

参考文献:"Nonequilibrium Green's Functions Approach to Inhomogeneous Systems", Karsten Blazer and Michael Bonitz (Springer 2013). 該当箇所:2.1.1 Keldysh Contourこの手のもので自分が最初に詰まってしまうのは、 ハミルトニアンが時間に依存して…

調和振動子と平面波の比較

零点振動している調和振動子と同じエネルギーを持つ平面波とで波動関数を比較する。 最後ら辺、サボりました。ここで、として自由平面波のエネルギーを代入して、波数と有効距離を結びつけると、 綺麗に有効距離の逆数になる。これで求めたを持つ平面波()…

PythonのLaguerre陪関数について

Wikipediaには日頃からよくお世話になっているが、自分で確認するのは大事だなと感じた事件。水素原子の波動関数の可視化とかカッコイイなぁと思い、ネットサーフィン中に以下のサイト様を訪問。 scipyの特殊関数 - 篠突く雨の日記自分も早速コピーしてやっ…

モンテカルロ積分で水素原子のエネルギー期待値を確認

「スレーター型軌道の数値積分は大変」と呪文のように聞かされて続けて心にハードルが出来てしまったので、ここらで打破することを試みた。 前回、多次元のモンテカルロ積分をまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回はスクリプトを組んで、どれくらい…

モンティ・ホール問題とシュテルン=ゲルラッハの実験

モンティ・ホール問題 モンティ・ホール問題 - Wikipedia モンティとはテレビの司会者的な存在らしい。 ルールは以下の通り。(1) 3つのドア (A, B, C) に(景品、ヤギ、ヤギ)がランダムに入っている。 (2) プレーヤーはドアを1つ選ぶ。 (3) モンティは残り…

分子分母が多項式の関数におけるゼロ近傍の極限

そもそも分子分母が多項式の時点でやる気がなくなる。すごくやりたくない。苦手意識が強い。 でも多分それは処方箋が頭に入っていないだけ。 今回は対処法を簡単に考察する。例えば、球ベッセル関数を球ノイマン関数で割ったものにおける原点近傍の振舞が知…

相互作用表示と摂動展開とDyson級数

q-number(演算子)をハットで表そうとしたらめっちゃズレるので、c-number(演算子じゃない普通の数)は小文字、q-numberは大文字で表すことにする。 とし、と書けるとするならば、はどんな形になるか?ということを考える。 多分これを摂動展開と呼んでい…

複素数平面上の漸近とは?

クーロン散乱の記事を読んでいて、よく考えると???となった位相の問題。 要するに、 (?)となるか?というもの。 いや成らんやろ。がどんなに大きかろうが、結局が重要なのであって、によってもたらされる位相のズレを解消することは出来ない。 一つ有り得る…

多電子原子の波動関数(途中)

今日、朝起きてからずっと多電子原子波動関数の作成プログラムやっているけど、なかなかうまく行かない。 コードは引き続き下記のサイトを参照。 http://www-cms.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~naoki/CIPINTRO/CIP/atom.htmlとりあえずs軌道は大丈夫。 でもp軌道に…

水素原子の波動関数の数値計算

束縛状態の波動関数の計算に抵抗がありまくりんぐなので、作ってみました。 普段は連続状態を計算していて、境界条件って言っても解析解につなぐだけなので、「正しいエネルギー(固有値)を見つける」というプロセスに心のハードルが無限の井戸型ポテンシャ…

ミクロカノニカルとカノニカル

ただの愚痴であるが、位相空間が苦手である。 大抵、ミクロカノニカル分布から入ると思うが、その説明に 位相空間の導入 謎のエネルギー範囲の設定 エルゴード仮説 等重率の原理 が使われる。 その中で一番状態数の多い状態が平衡に対応するとし、変分をかま…

井戸型 vs クーロン

今更ながらIPythonデータサイエンスクックブックを購入した。もちろん私費である。せっかくなので一次元のシュレーディンガー方程式でも解こうかと思った。 一階微分方程式に対しては、かくあきさんのサイトで紹介されているローレンツアトラクターのソース…

ストークスの定理の最も簡単な例

xy平面内でのみ回転している、大きさ1の回転を考える。 つまり、 ここから元のベクトルを復元すると、ただし、微分でしか定義されていないので、一意には決まらずに任意性が残る。 例えば以下のようなものも可能である。今回は上のものを考える。これをgnupl…

条件反射シリーズ:ガンマ関数

とが一緒に入っている積分: ガンマ関数に持って行けないか、疑ってみましょう。ちなみにガンマ関数の定義は、 の指数がだったかだったかややこしいし、の肩がプラスだったかマイナスだったか忘れるけど、とにかくとの組み合わせ => と思っておけば見通しは…

周期的境界条件の位相の和の関係

前回、Tight-Bindingで使った位相の和の関係についてまとめておく。 koideforest.hatenadiary.com これらを証明する。簡単のため、格子定数の一次元格子を考える。 格子点個を含む範囲(今の場合は長さと表現できる。2,3次元では箱とよく呼ばれる)を設定し…

第二量子化でTight-Binding

なんかダガーが使えなかったので、エルミート共役をbarで表現することにする。 位置表示での対角項は、後で行うフーリエ変換(級数)しても対角的なので、省略する。 電子の移動のみをハミルトニアンで扱うと、これを、最近接のみに制限(近似)する。 を最…

初等的な縮退の話

サクライの章末問題に載っててフムフムとなった縮退の話。演算子が互いに交換せず()、かつそれぞれがハミルトニアンと同時固有状態を作るとする。 このときに、一般に縮退が存在することが証明出来る。これを真っ向から挑む場合に、必要十分であることを言う…

二次元ハミルトニアンとパウリ行列

の固有値を求める問題をパウリ行列使って解く方法が割と楽しい(サクライでは章末問題になっている)。 これを行列で書くと、ただし、の単位ベクトルである。 せっかくなので、パウリ行列をスピン演算子に直してあげれば、よりで、変形して何なんだという話…

ハミルトニアンの行列表示

J.J. Sakuraiのゼミをしていたとき、ハミルトニアンの行列表示について議論になった。Diracのbraketを用いた表示で書けば、となる。 Sakuraiだと、イコールではないことを強調して一応を用いてはいるものの、結構ポッと出な感もあるし、何よりもの中のは外の…