いつも公式を忘れるので、ここでまとめる。 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を帰納法を用いて証明する。 帰納法を使えば、 したがって、一般の次数における微分係数が求まったため、Maclaurin展開より、 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を（自由）電子系に応…

二項分布の平均と分散がわかりにくかったのでまとめ。 参考：二項分布の平均と分散の二通りの証明 | 高校数学の美しい物語このとき、二項分布に従う確率変数と、となる確率 は次のように定義される。 が規格化されていることを確認。 二項分布に従う確率変数…

例として、三次方程式 を考える。では極値を取るとすると、 極値が存在するかどうかは、二次方程式の判別式を解く必要があるが、極値の存在を仮定すると、の関係が求まる。この条件のもと、極値における二階微分を求めると、 となり、一般にゼロでない。この…

正規分布関数を以下に定義する。 規格化が成り立っていることの証明。 平均値がであることの証明。 分散がであることの証明。 よって、は標準偏差を表すことになる。

前回、三準位系について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、実際にエネルギー準位が相互作用によってどう変化するかをプロットする。 import numpy as np import sympy as sy from matplotlib import pyplot as plt # eigenvalues e, v12, v23 =…

三準位系で、1と3は相互作用しないが、それぞれ2と相互作用しているときの1と3の関係について知りたい。解きたい行列式。 簡単のため、 更に簡単のため、。 のとき、 となり、中心のは動かない。 二準位だけ考えた場合の分裂幅は、 であることから、三準位で…

Ashcroft-Mermen "Solid State Physics"に準拠する方法で紹介する。単位の取り方で、が付いたり付かなかったり等、色々有る。 電磁気量の単位系 - Wikipedia CGS単位系を選択することで、 がPoisson方程式に露わに現れる。 。 として扱う。Poisson方程式。 …

正射影ベクトルの公式というものがあるらしい。 正射影ベクトルの公式の証明と使い方 | 高校数学の美しい物語 これは、「ベクトルをベクトル方向に射影したベクトルを求める」というものである。この公式を見て思ったのは、「計算出来るけど『意味が』分かり…

「変分で求めた基底エネルギーは、真の基底エネルギーよりも高い」のは良い。しかし、「（定常）変分で求めた励起状態エネルギーは、真の励起状態エネルギーよりも高い」ことの証明は、ネット上でチラホラ見掛けるが、間違っている。励起状態に関しては、何…

よく忘れるのでメモ。の積分変換と、が思い付けば勝ち。

和の単位元0は、あらゆる積の演算に対して自分自身に戻る。 この性質は、体の定義には含まれておらず、定理として導かれる。 そこで、体に含まれる元に対して、であることを証明する。先に、後で使う定理を導いておく。 以下証明。和の単位元0の性質より、 …

この手の問題は、ついつい当たり前として証明をサボってしまうので、一つ一つ丁寧にやっていくことにする。体において、とすると、 となる逆元が存在する。 は和において単位元の役割を果たす。この時、逆元が唯一つしか存在しないことを、単位元および逆元…

変数が増えると、一見連続そうに見えても、不連続な場合がある。例１: import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt def arbitrary_function( x, y ): return ( x - y ) / ( x + y + 1e-7 ) N = 1000 x_min, x_max = -1, 1 y_min, y_max = -1, …

Hohenberg-Kohnの第一定理は以下の様なものである。 「外場と基底状態電子密度は一対一対応する。」 これは、背理法で証明されることがほとんどだろう。しかし、背理法そのものについて学ぶことは、あまりない気がしたので、ここでまとめる。「命題」を、「…

自己エネルギーがずっとわかったようでわからなかったので、二準位系で求めて見た。ハミルトニアンを次のように定義する。 次に、射影演算子を次のように定義する。 これによって、ハミルトニアンを（機械的に）対角項と非対角項に分けることが出来る。 もし…

高速フーリエ変換ことFFT（ファイナルファンタジータクティクスではありません）は、結局は離散フーリエ変換な訳で、ある範囲のデータが無限に周期的に繰り返しているとしてフーリエ変換してくれます。 この時に、端の点のどこで周期性を課すのか、ややこし…

前回、諦める確率を考えた下で、最終的に欲しい結果が得られる確率について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、逆に「8,9割の確率で目的を達成するためには、どれくらい粘り強くあるべきか？」を考えたい。 一回の試行で欲しい事象が得られる確…

前回、無限にコインやサイコロを投げれば、欲しい結果は必ず得られることを示した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、途中で諦める確率を考慮した時に、どれだけ確率が減るかを試してみる。 諦める確率および続ける確率と定義する。「表が出るまでコイン…

「コインを投げて表が出るまで永遠に投げ続けた時、最終的に表が得られる確率」を求める。したがって、無限にやれば、いつか必ず表が出るという結果に。今度はサイコロに問題を変えて、「1」の目が出るまで投げ続けることを考えると、 サイコロの場合でも、…

文字通り、波動関数の節を数える。ndarrayの中で条件を満たす要素数を数える方法。 NumPy配列ndarrayの条件を満たす要素数をカウント | note.nkmk.me import numpy as np x_min, x_max, N = 0, 3*np.pi, 100 x = np.linspace( x_min, x_max, N ) wave = np.c…

ネイピア数ってそういえばどうやって計算しているのかと思って調べてみたら、面白い記事を見つけた。 こつこつアルゴリズム(Spigot Algorithm)無限級数が以下のように定義されているとする。 この時、 と書けるので、 ここで、 したがって、これを次々繰り返…

平面波の角運動量展開（球面波展開） 球Bessel関数よりも球Hankel関数の方が、漸近形を覚え易い。 これらを使うと、 例えば、仮に平面波の複素共役を取った場合、

Numerov法は一階微分方程式を含まない二階微分方程式を解くのに便利な方法である。 この方法を適用するには、等間隔の変数刻み（メッシュ or グリッド）が必要である。 しかし、変化が穏やかなところでは粗いメッシュで十分だが、一方で変化が急なところでは…

前回、重なり積分がゼロの時について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、より一般的なの場合について、複数の解法を考える。解きたい行列方程式は、 の固有値方程式を一般化固有値方程式と呼び、の場合を標準固有値方程式と呼ぶ。 つまり、の時…

行列代数を用いて固有値方程式を解くことを、具体的に考えてみる。簡単のため、重なり積分をとして考える。 ハミルトニアン行列はエルミート行列なので、ユニタリー行列を用いて、対角行列に変換することが出来る。 は単位行列である。したがって、 式で単に…

水素分子イオンの重なり積分、クーロン積分、交換積分を求める。参考にしたPDF https://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilj8WMrbvgAhVPBGMBHYacDWMQFjAGegQIAxAC&url=http%3A%2F%2Fwww.geocities.jp%…

前回、の時に、 であることを示した。 koideforest.hatenadiary.comしかし、前回得られた式をよく見ると、 でも になることがわかる。 はつまり であるわけだが、 が に依存しているにも関わらず、 のために となることがわかる。 これは、結構直感に反する…

以下の式は一般に正しいだろうか？ の時は正しい。 がで定義されている場合、の方が求め易いことが多い。 なので、このような関係式をなるべく使いたい訳である。では、多変数の場合にはどうか？ これをだけを抜き出すように式変形すると、 がヤコビアンと呼…

微分の連鎖律 例えば、 この時、 で若干迷ったりすることはないだろうか？ 後者だと、もう一回微分しないといけなくなり、答えは同じにならない。これをの微分で確認してみると、 したがって、係数は微分の前に出しておくのが正解である。 公式を覚えてしま…

これまでは以下の非摂動Green関数を使って来た。 koideforest.hatenadiary.com また、T行列を使うと、積分の中をを使って表すことが出来る。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、を取り込んだ（完全） Green関数を使う。 単振動のGreen関数は以前に既に求…