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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

数学

pythonでペンローズタイリング

ペンローズタイリングとは、ペンローズが開発した非周期的な図形の敷き詰め方である。 以下のサイトで、ペンローズタイリングの方法と、そのpythonスクリプトが公開されている。 Penrose Tiling Explained図の描画には、pycairoが使われていて、事前にインス…

頂角が小さい二等辺三角形の底辺について

回転運動の説明を読んでいる時に、角度が小さい時の差ベクトルの近似について気になったので考えて見た。 等速円運動 [物理のかぎしっぽ]以下の図のような二等辺三角形における底辺(青)、円弧(赤)、そして垂線(緑)を考える。 図では頂角は30度でプロッ…

sympyで(平面の)Greenの定理を確認

sympyの練習を兼ねて、平面に対するGreenの定理で、問題を解いてみる。 平面のグリーンの定理 [物理のかぎしっぽ]以下の積分を求めてみる。 原点で最大値を取り、等方向的で、境界でゼロを持つような、何かしらの密度を積分する、と思えば解りやすいだろうか…

Green関数の固有関数展開

前回、フーリエ変換の視点で自由Green関数を弄った。 koideforest.hatenadiary.com今回は、もっと一般的(?)にハミルトニアンの固有関数で展開することを考える。 したがって、Green関数の位置表示は、 自由電子の時には、運動エネルギーの固有状態表示で…

自由電子Green関数のFourier変換

パッと探したところ と出来る理由が見当たらなかったので、真面目に計算してみた。 (もちろん、ハミルトニアンの並進対称性から明らかなのはわかっているが、真面目な方法でやって同じ答えになるはずである)Diracのbraket表示を使って、演算子の方程式から…

自由電子Green関数の部分波展開

Hartree原子単位系以下、これを証明する。フーリエ変換を使って、微分方程式を解く。 平面波の角運動量展開 パリティ対称性 より、被積分関数はに対して偶関数。よって、 球ベッセル関数は特異点を持たないので、分母にのみ特異性がある。 これを利用して、…

統計的な相関まとめ

平均 揺らぎ 分散(標準偏差の二乗 or 揺らぎの二乗の平均) 統計学における分散と不偏分散 例題でわかりやすく解説 | 全人類がわかる統計学 標準偏差 標準偏差 | 統計用語集 | 統計WEB 不偏分散(アンサンブル平均ではない平均で取る) 統計学における分散…

スペクトル解析のコヒーレンスとアンサンブル平均

以前に相関関数をいろいろまとめた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comしかし気になったのは、「今のコヒーレンスの定義では 1 にしかならないのではないか?」という点である。広島大の講義ノートにク…

三角関数の相関関数

以前の記事で、相関関数、及びそのガウス関数の時の振舞について調べた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comここでは三角関数()を使って相関関数の振舞を調べる。フーリエ変換の定義 三角関数( ) 自己相関関数の定義 スペクトル…

ガウス関数の相関関数

以前の記事で相関関数をまとめた。 koideforest.hatenadiary.com ここではガウス関数を使って、振舞を調べる。フーリエ変換の定義 自己相関関数 ガウス関数 スペクトルと自己相関関数 で、がちゃんと求まっていることがわかる。 相互相関関数の定義 より一般…

ガウス関数のフーリエ変換 (scipy.fftpack)

ガウス関数はフーリエ変換しても、数式上は(幅は変わるが)またガウス関数になる。 高速フーリエ変換(FFT)とフーリエ変換との関係を以前まとめたため、FFTを用いてガウス関数をフーリエ変換する。 koideforest.hatenadiary.comここではscipy.fftpackを用…

高速フーリエ変換(FFT)を使ってフーリエ変換する方法

高速フーリエ変換(FFT)は結局は離散フーリエ変換であり、どちらかというとフーリエ級数展開に近い。 高速フーリエ変換 - WikipediaFFTは結局は級数展開、つまり「和」なので、フーリエ変換、つまり「積分」にするためには、変換が必要である。 http://hook…

古典的な相関関数のまとめ

「相関とは内積の拡張のようなものである」という説明で納得した。 相関関数 [物理のかぎしっぽ]離散的な数直線上の点における関数値をベクトルと思えば、内積はと表せる。これがゼロのとき、関数は互いに直交していると言える。ここで、を連続量に置き換え…

任意の基底関数における正規方程式

多項式による正規方程式の導出を、こちらにサイトでお世話になった。 線形回帰の Normal Equation(正規方程式)について しかし、別に多項式じゃなくても何でも良いと思ったので、導出してみた。何かしらの入力に対する出力が個の組で得られているとする。 …

ベイズの定理:薬物検査の難しさ

ベイズの定理のWikipediaで、応用例として薬物検査で陽性が出た時に本当に使用者でる確率が取り上げられている。ベイズの定理 ベイズの定理 - Wikipedia 全確率の定理 Law of total probability - Wikipedia 感度:薬物使用者のうち99%が陽性になる。 特異度…

誕生日のパラドックス:「私」か「全員」か

たまたま見つけたやつ。 【オリジナル】「誕生日が同じだった運命のふたりの漫画。」漫画/山本アリフレッド [pixiv] 30人のクラスの中で、同じ誕生日のペアが出来る確率は7割だから、誕生日が同じなのは奇跡ではない、というもの。 これについて、「『私と』…

結合法則と交換法則が成り立たない簡単な例

加法や乗法は、(それらの群の上では)結合の法則と交換の法則を満たす。減法や除法も加法群および乗法群に含まれてしまうため、何かこれらを満たさない別の簡単な例はないかなぁと思っていたら、パッと冪演算を思い付いた。 冪演算をで定義すると、少なくと…

立体角積分 - Lebedev quadrature

数値計算で立体角積分をしたいとき、安直に二重積分するよりも、Lebedev求積法を使った方が効率が良い。 Lebedev quadrature - Wikipedia http://people.maths.ox.ac.uk/beentjes/Essays/QuadratureSphere.pdf効率が良いという意味は、メッシュ数が少なくて…

Møller wave operator における 加藤の連鎖律(?)

N粒子系における二体ポテンシャルを、粒子ペアに番号を付けて、その間の相互作用の和()として定義する。二体ポテンシャルとしたが、結局は相互作用に何かしら番号が付けられて、全体がその和として与えらえるのであれば、いろんな応用が考えられる(と思う…

球対称関数を別の位置で球平均する

を原点から測った距離とし、原点から見て球対称な関数をとする。 原点から見て位置にあるサイトがあるとする。 サイトを原点に取り直した任意の位置ベクトルをと定義する。 やりたいことは、をサイトから見ると球対称ではないので、サイトから見たときの球対…

デルタ関数のエンタングルメントを完備関係式で断つ?

例えば球面調和関数これはある意味のエンタングルメントを断ったと言えるか? 添字が一個なので、ベクトルに拡張すれば、よって、ある種の行列化によって変数分離が可能である。ポイントは、もともと行列ではなくただの数だったので、「左に横ベクトル・右に…

Gaunt積分のまとめ

Gaunt積分の自分的メモ。 Clebsch–Gordan coefficients - Wikipedia 3-j symbol - WikipediaGaunt積分(多分一般的な呼び名ではない。が、自分の分野ではよく出てくる。) Gaunt係数(Wikipediaとかに載っているのはこっち。) Clebsh-Gordan係数と3j記号の…

行列要素を視覚的にチェックする方法

行列要素をなんとか可視化したくて、三次元プロット散布図で表現してみた。 Pythonでデータを可視化するmatplotlib初級(3D散布図編) - しぷぜん from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np N = 20 row …

Legendre多項式の直交性を python (scipy) で確かめる

いつもnumpyの多項式の使い方を忘れるので、Legendre多項式の直交関係式で練習する。 ルジャンドル多項式 - Wikipediascipy.special.legendreでLegendre多項式を作ると、poly1dというタイプの関数が帰ってくるので、そのままxを代入できる(下記リンク or サ…

sympyの虚数単位を通常に戻してnumpyが使えるようにする

sympy moduleを一部使ってゴニョゴニョ計算させて、それを元にnumpy moduleで処理(例えば逆行列計算)させようとした時に虚数単位が引っかかって怒られることがあった。 sympyの代数表記を数値表記に戻す方法として"N()"や"~.evalf()"があるが、これではsym…

平方根の行列表現

平方根を評価するのに、級数展開以外のもので何か無いか考えた時に、虚数の行列表現を思い出した。とりあえずに対応する行列を求めたい。 つまり、二乗したら単位行列に2をかけたものを返す行列を考える。ここで非対角成分を消すためにとしてしまうと、とな…

Sympyを使って平方完成をする。

Sympyはpythonモジュールの一つで、Mathematicaっぽく数式記号そのままで式を扱えるものである。 しかし、どうも式変形をゴリゴリ進めるノート的な使い方をするよりかは、ややこしい項が出て来た時に展開が合ってるかとか手計算が合っているかサッと電卓的に…

ローレンツ変換行列要素における反変・共変の関係

反変ベクトルに対する変換行列と共変ベクトルに対する変換行列は、計量テンソルで以下のように結び付けられる。しかし、やっぱりわかったようなわからないような、という感じに苛まれる。 ここでと定義すると、以下のような関係であることがわかる。つまり、…

Path operator と Coherent Potential Approximation (CPA) (誤り)

#このページは誤っています。Path operator を次のように用意しておく。誤り(一般的なPath operatorの定義ではない。) 誤りはサイト間の移動、はサイト上での繰り込まれた相互作用(site T matrix)を表すとする。 後のためにを一応、site potential を使…

PythonのLaguerre陪関数について

Wikipediaには日頃からよくお世話になっているが、自分で確認するのは大事だなと感じた事件。水素原子の波動関数の可視化とかカッコイイなぁと思い、ネットサーフィン中に以下のサイト様を訪問。 scipyの特殊関数 - 篠突く雨の日記自分も早速コピーしてやっ…