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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

力学

単振動を(完全)Green関数を使って解く。

これまでは以下の非摂動Green関数を使って来た。 koideforest.hatenadiary.com また、T行列を使うと、積分の中をを使って表すことが出来る。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、を取り込んだ(完全) Green関数を使う。 単振動のGreen関数は以前に既に求…

単振動をT行列を使って解く。

前回、Green関数を使って古典単振動の軌跡を求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、無限級数の別表現として、行列を使ってみる。 行列は、Green関数を用いて次のように定義出来る。 この行列を用いて、前回の式を書き直すと、 だから、 ここで、Green…

単振動を(非摂動)Green関数を使って解く。

前回、Green関数を使って古典力学の基礎問題を解いた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com今回は古典単振動の軌跡をGreen関数を使って求める。 自由落下の時は、非斉次項が定数だったが、単振動では求めたい関数自身が含まれているた…

自由落下をGreen関数で解く。

二階微分だけの演算子に対するGreen関数を求めた。 koideforest.hatenadiary.com求めたと言っても、斉次解が含まれていないので、Green関数の一般解にはなっていない。 斉次解を含めると、ここで、自由落下の問題を考える。 この時、Green関数を用いると、 …

単振動方程式に対するGreen関数(コーシーの主値積分ver.)

一次元の単振動の微分方程式に対するGreen関数を求めてみる。 したがって、計算するべき積分は、 時間が正か負かで積分経路が変わるので、以下場合分けで考える。 フーリエ積分を複素平面に拡張すれば、 今、実軸上の極を全て避けるように積分経路を取ったの…

任意の二つの量を三角関数で表す

この時、以下の関係を満たし、三角関数の枠内に収まる。 振動を扱っていると、よく見かける変形である。例えば、次のような同じ周期の三角関数の合成を考えると、 よって合成後に位相がずれるだけで済む。位相のズレの大きさは、 で求まり、 のとき であるか…

円運動

原点を中心とした円の軌跡は以下のように記述出来る。 原点周りの円周上の運動を考える。そのためは定数で時間変化しないとし、角度の時間微分を角速度として定義する。(円運動を「角度のみが変化する運動」と言い換えても良いだろう。)運動方程式の用途と…

剛体の運動:ヨビノリの動画の補足

剛体は結局学部ではやらず、研究室のゼミでやるわけでもなく、独学だったのでヨビノリで復習してみた。 多体問題として剛体を見ると、かなり面白いと感じざるを得ない。ここでは自分の理解のために、そこで出てくる数学的事項等を自分の好みに合わせて補足し…

単振り子の問題がパッと受け入れられない件について

単振り子の振動の振舞を求める問題は、単振動の典型的な例題の一つであるが、何かしっくり来ない。 単振り子 ■わかりやすい高校物理の部屋■ 単振り子を徹底解説!近似の使用法&運動方程式から周期を導出する方法 単振り子:運動方程式そのため、しっくり来な…

量子力学でのガリレイ変換

特殊相対論(古典力学)の導入でガリレイ変換とローレンツ変換(ローレンツブースト)を比較することが多いが、そもそも量子力学でのガリレイ変換ってなんだ?と思い、簡単に考察。 以下のpdfを参考にした。 http://cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/QM_1_1…

ローレンツブーストとローレンツ収縮

名前的に非常にややこしい。ブーストするのか収縮するのかどっちかにして欲しいところである。ざっくり言えば、 ローレンツブースト:観測者(静止系)に対して、運動している系の座標軸は運動方向に伸びる(時間軸も同時に影響を受ける)。 ローレンツ収縮…

ローレンツ変換行列要素における反変・共変の関係

反変ベクトルに対する変換行列と共変ベクトルに対する変換行列は、計量テンソルで以下のように結び付けられる。しかし、やっぱりわかったようなわからないような、という感じに苛まれる。 ここでと定義すると、以下のような関係であることがわかる。つまり、…

特殊相対論の計量テンソルと4元ベクトルの内積

計量テンソルを以下のように定義。それで以下の4元ベクトルの内積が、ローレンツ変換で不変であることが特殊相対論の特徴であった。で、これはアインシュタインの規約を用いているから実際には和である。 しかし、頭ではわかっているのだが、心がどうも胡散…

極座標の不思議

いや、大した話ではないが、に違和感を感じた。基底一個で三次元の位置を特定出来ちゃっている訳なので。 頭ではわかっているが、心のどこかで、 (もちろん誤り)を期待してしまっている自分がまだどこかに潜んでいる気がする。 多分、に慣れ過ぎたのだろう…

ラグランジュアン:位置と運動量は独立か?

独立ではない(でもついこの間まで良くわからずにいた)。 紛らわしい理由として、 と書かれているからついつい。 ラグランジュ方程式がで別々に微分しているからついつい。 その導出過程で となっているからついつい。 という感じだろうか?そもそも、であ…