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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

等方的な関数のフーリエ変換。

1次元 2次元 3次元

Gaussianの半値幅。

規格化されたGaussianは次の形で与えられる。 規格化されている(積分値が1になっている)ことは、次のようにして確かめられる。 を用いた表記は、統計学的な処理を行う際に便利である(と想像される)が、直感的にどれくらいの幅を持つのかが分かりにくい。…

NiOの反強磁性結晶構造における対称性をspglibを使って求める。

通常の結晶構造であれば、データベースか何かから引っ張って来れるが、それをベースにした超周期構造を作ろうと思うと、対称性(空間群)が変わるため、手でやるには歯が立たない。 そこで、入力した原子座標に対して対称性を見つけてくれる spglib を使って…

gfortran での変数の次元の制約。

何も考えずにプログラムを作っていたら、配列の次元が7個を超えるとコンパイルできないらしい。 program test_array7 real( kind( 0d0 ) ) :: r( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) end program test_array7 これを gfortran でコンパイルすると test_array7.f90:3:4…

Fourier変換の符号や係数の気持ち。

自分で毎回忘れるので、まとめておく。Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため(語弊があるが)不定性があり、分野によって異なる(気がしている)。一応、自分ルールとして、 位置および時間を基準とし、波数もしくは(角)…

実空間多重散乱からKKR法への接続。

あるセル内の散乱によるセルT行列を と置くと、全てのサイトによる散乱Green関数 は次のように書ける。 ここで、 は自由散乱状態におけるGreen関数である。また、セルに属するサイトをという風に表した。セルT行列 はサイトT行列 を用いて次のように書ける。…

T行列のサイトT行列展開とセルT行列展開。

T行列は元々サイトポテンシャルの展開で以下の様に定義されている。 しかし、「違うサイトへの伝搬」と「同じサイト内での多重散乱」が混在しており、実際の計算には非常に不便である。 そこで、同じサイトのポテンシャル散乱を繰り込んだサイトT行列を定義…

python で Lebedev quadrature を使う。

以前にLebedev求積法について紹介した。 koideforest.hatenadiary.com最近ではpythonでもLebedev求積法が使えるmoduleがあるらしい。 quadpy · PyPIとりあえずテストコードを書いた。 import numpy as np import quadpy def f_cart( xyz ): # np.shape( xyz …

定数ポテンシャルを与える球対称電子密度について。

Poisson方程式の解は、 と書ける(原子単位系)。多重極子展開および角運動量展開を利用すると、 ここで、元々 の時、 が半径まで値を持つ場合において、その内側で が定数になる の形を求めることを試みる。 定数であるから、微分するとポテンシャルはゼロ…

化学ポテンシャルの温度依存性。

前回、Sommerfeld展開についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、(状態密度)として適用し、化学ポテンシャルの温度依存性について調べる。 ここで、 とすると、Tayler展開を用いて次のように書ける。 ここで、自由電子の状態密度が であるた…

Sommerfeld展開。

Sommerfeld展開は、Fermi分布関数 が掛かった関数の積分値に関する展開式で、以下のように表される。 室温程度であれば、(が十分滑らかな関数である限り) 第二項までの打ち切りが良い近似として成り立つことが知られている。 この展開を導出してみることにす…

OPW(直交化平面波法)

そもそもの大前提として、系が周期性を持ち、ハミルトニアンが(周期性を保つ)並進操作に対して不変であるとする。 平面波で基底を展開すると、強く局在したcore状態との直交性を記述しようとするために高い波数が必要になってしまい、実際に計算するにはと…

力学的相似(ビリアル定理)。

(系の)ビリアルとは以下の量のことを呼ぶ(らしい)。 古典(質点)力学においては、変数は時間であるため、これは時間平均量として解釈出来る。 ビリアル定理とは、 ポテンシャルエネルギーが座標の同次関数 系の運動が有限領域内に限られている 場合に成…

力学的相似。

ランダウ=リフシッツ(力学)に載っていた問題。一般座標と時間と質量をスケール変換することを考える。 このスケール変換に対して、ラグランジュ方程式が不変に保たれる条件を考える。速度等の普遍的な量は以下のスケール変換を受ける。 ポテンシャルに関し…

fortran のオプショナル引数

練習として、オプショナル引数を使ったサンプルプログラムを作った。Fortran 入門: サブルーチンと関数(自作手続) program ex call ex_sub( 1, z = 3 ) contains subroutine ex_sub( x, y, z ) implicit none !integer, intent( in ) :: x, y, z integer, …

fortran における複素数の入力

以下のファイルの中身を複素数の変数に読み込ませたいとする。 # test input file: test.inp 1.00000 2.00000結構探したが、fortranで外部から複素数を読み込ませるときの上手い方法が見つからなかった。 結局、実数変数に一時的に格納し、後で複素数に変換…

fortran で End of file を検出する。

fortranでファイルを限界まで読み続けると、End of file でエラーが返って来る。この辺がなんとも原始的な香りを感じさせる。 この End of file を検出/処理するためには、以下の二通りが考えられる。 END で行番号へ飛ぶ。 Fortran 入門: ファイル操作 impl…

LAPACK・LAPACK95の使い方。

LAPACKの使い方でいつも困るので自分用も兼ねてまとめる。 LAPACKのインストールの仕方については沢山サイトがあるので割愛。 サブルーチンのリスト(マニュアル) LAPACK95 -- Fortran95 interface to LAPACK Index of LAPACK95 Routines LAPACK95のサブル…

数演算子の波数表示。

数演算子 の波数表示を求める。まず、素直にをフーリエ級数展開で波数表示にしてみる。 にを代入することでを求める。 元に戻るかを確認すると、 の対称性として、が使える。 もしくは以下のようにしても示せる。 特別にのとき、 というように、電子数変化の…

平均場近似の心。

演算子、もしくは確率変数をと置き、それらの期待値(平均値)をそれぞれすると、 という式が成り立つ。 これはまだ厳密である。ここで、「は平均値にそれぞれ近いから、「揺らぎ」である, は凄く小さい」と考えるのが平均場近似である。 ポイントは、という…

オンサイトクーロンの波数表示。

ハバードモデルにあるオンサイトクーロン項の波数表示 を証明する。証明には、以下の関係式が必要である。 これらは以下の記事で扱ったことがある。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comよって、

時間順序演算子を用いた時間発展演算子の表現。

時間発展演算子は、一般のハミルトニアンに対して次のように表される。 注意として、の順番は勝手に変えてはいけない。 順番を変えて良いのは、同じ時刻の時にのみ限る。 二番目の積分を変形していくが、以下の積分は変数変換をするわけではなく、厳密に同じ…

CoulombポテンシャルのFourier変換(収束因子経由)

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は収束因子を導入することによって求める。 と定義すると、 この積分を評価する。と定義し、と置くと、 したがって、

電子ガス模型における電子間相互作用の一次摂動。

電子ガス模型における電子間相互作用の効果を、一次摂動で求める。 ここで、変数変換およびをすると、対称性が良くなる。 半径の球を考える。のとき、の動く範囲はこの球に一致する。 絶対値の中身を具体的に考えると、 これをもとに、で固定したときに許さ…

軸対称な物体の体積。

CTスキャンのように、断面図をからまで足し合わせていくイメージである。 軸対称なため、断面図は半径の円である。球体の場合、 であるから、 となり、よく知っている球の体積が得られた。

電子ガスでよく使うパラメータまとめ

電子密度 電子一個が占める球の半径 Bohr半径 Bohr半径で規格化した電子一個分の半径 Fermi波数

Bosonの多電子波動関数

参考文献:Fetter-WaleckaBosonの多電子波動関数は一電子Boson波動関数および展開係数を用いて、一般に以下のように書ける。 上記に対する例を挙げると、 注意として、 占有率表示における規格化条件は、 のうち、"1"の状態に割り振る数を、"2"に割り振る数…

組み合わせの一般化。

個の要素(例えば番号の振られたボール)のうち個を取り出して、それを個のグループ(例えば番号の振られた筒)に分けたときに、各グループ内の要素の個数がとなる組み合わせの数は、 ただし 証明 個の要素(例えば番号の振られたボール)から個を取り出して…

はじめてのベイズ法。

IPythonデータサイエンスクックブックに載っていた内容の紹介。以下、言葉と記号を整理しておく。 : モデルを構成するパラメータ。ただし、確率変数として扱っていく。 : 「事前確率分布」と呼ばれる、を決定するのに何も情報を持っていない時に仮定するの確…

調和振動における滞在時間からの分布関数の導出。

古典的な調和振動は以下のように表される。 周期を用いて、この振動の(位置)期待値を取ると、 つまり、原点に多く存在している「ように」見える。次に、標準偏差を取ると、 となり、「少なくとも」常に原点にいるわけではないことがわかる。一方、原点から…