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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

自分が自分じゃないものってNaNだ。

"NaN"とは"Not a Number"の略で、例えば「1/0」のような変な計算をしてしまった時に出力される。 このNaNの特徴として、「NaN = NaN」が「偽(False)」になる。 逆に言うと、「NaN is not NaN」が「真(True)」になる。NaNとは「自分が自分でないもの」な…

波動関数の節を数える

文字通り、波動関数の節を数える。ndarrayの中で条件を満たす要素数を数える方法。 NumPy配列ndarrayの条件を満たす要素数をカウント | note.nkmk.me import numpy as np x_min, x_max, N = 0, 3*np.pi, 100 x = np.linspace( x_min, x_max, N ) wave = np.c…

Spigot Algorithm

ネイピア数ってそういえばどうやって計算しているのかと思って調べてみたら、面白い記事を見つけた。 こつこつアルゴリズム(Spigot Algorithm)無限級数が以下のように定義されているとする。 この時、 と書けるので、 ここで、 したがって、これを次々繰り返…

クーロン場のフーリエ変換(Betheの積分公式)

クーロン場のフーリエ変換は、Betheの積分公式として知られる(らしい) 証明する前に、準備をする。定理1 定理1の証明 定理2 定理2の証明 定理3 定理3の証明 したがって、 数学的には、極限と積分の交換が問題なのだろう。 ここの正当性はよく知らないが、…

光学定理(複素ポテンシャル):複素波数

前回、波数が実数のときの光学定理についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、より一般的な、波数が複素数のときの光学定理を考察する。波数ベクトルを次のように定義する。 方向ベクトルまで複素数にすると訳が分からなくなる。これより、確率…

光学定理(複素ポテンシャル):実波数

前回、実ポテンシャルに対する光学定理を導いた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、複素ポテンシャルだが、波数は実数である時の光学定理を考える。 これは、無限遠方ではポテンシャルの虚部が完全に無くなっている場合に対応する。導出は前回とほぼほぼ…

光学定理(実ポテンシャル):外向波と内向波

実ポテンシャル、つまり非弾性散乱が無い時の光学定理を導く。散乱波を次のように定義する。 はそれぞれ外向波、内向波を表す。球座標に対するは 入射波に対する勾配は、 散乱波に対する勾配は、においてだけ残すと、 したがって、確率流密度は 干渉項を計算…

平面波の球面波展開における漸近形

平面波の角運動量展開(球面波展開) 球Bessel関数よりも球Hankel関数の方が、漸近形を覚え易い。 これらを使うと、 例えば、仮に平面波の複素共役を取った場合、

連続の式

連続の式を導出する。発想として、密度の時間依存性と時間依存のシュレーディンガーを方程式を結び付けることを考える。 ここで、ベクトル解析の関係式から、 したがって、 よって、連続の式は、 ポテンシャルが虚部を含む時()、確率が保存しないことがわ…

二階微分演算子の変数変換 for Numerov method

Numerov法は一階微分方程式を含まない二階微分方程式を解くのに便利な方法である。 この方法を適用するには、等間隔の変数刻み(メッシュ or グリッド)が必要である。 しかし、変化が穏やかなところでは粗いメッシュで十分だが、一方で変化が急なところでは…

存在をチェックするpythonコマンドまとめ

Path (File and/or Directory) import os path = "/test" os.path.exists( path ) # True or False path_file = "/test/test.dat" os.path.isfile( path_file ) # True or False path_dir = "/test/" os.path.isdir( path_dir ) # True or False 地味に英語…

断面積の単位:barn

たまに という単位を見かけたことがあったが、何だろうなと思ってスルーしていたので調べてみた。バーン (単位) - Wikipedia要は面積の単位でした。原子核物理の分野で、微分散乱断面積を表すのに使うそうです。 の面積だから、原子核には丁度良いらしい。 …

水素分子イオンの固有値方程式を行列代数で解くことについて(重なり有り)

前回、重なり積分がゼロの時について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、より一般的なの場合について、複数の解法を考える。解きたい行列方程式は、 の固有値方程式を一般化固有値方程式と呼び、の場合を標準固有値方程式と呼ぶ。 つまり、の時…

水素分子イオンの固有値方程式を行列代数で解くことについて(重なり無し)

行列代数を用いて固有値方程式を解くことを、具体的に考えてみる。簡単のため、重なり積分をとして考える。 ハミルトニアン行列はエルミート行列なので、ユニタリー行列を用いて、対角行列に変換することが出来る。 は単位行列である。したがって、 式で単に…

調和振動子のハミルトニアンを生成消滅演算子で表す。

生成消滅演算子の係数がいつも天下りだったので、自分で求めてみることにした。調和振動子のハミルトニアン ちなみに、古典軌道の調和振動子について復習しておくと、 復習終了。ハミルトニアンを平方完成するような演算子を作りたい。 見たところ、 とおい…

水素分子イオンの各種一電子積分(プロット)

前回までに、水素分子イオンの結合・反結合軌道についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com今回は、各値をプロットしてその挙動を確かめる。 各種積分値 の方がに対する減衰が速いため、より近距離で働くことが分かる。 ハ…

水素分子イオンの結合・反結合軌道

前回、水素分子イオンにおけるハミルトニアンの行列要素を求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、それらが求まっているとして、結合・反結合軌道がどのようなロジックで得られるかを紹介する。各水素原子波動関数を基底関数として、その線形結合で水…

水素分子イオンの各種一電子積分

水素分子イオンの重なり積分、クーロン積分、交換積分を求める。参考にしたPDF https://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilj8WMrbvgAhVPBGMBHYacDWMQFjAGegQIAxAC&url=http%3A%2F%2Fwww.geocities.jp%…

matplotlibで二文字以上の変数を上付きにする。

matplotlibで普通に from matplotlib import pyplot as plt atomic_number = 29 plt.title( 'Cu$^{}$'.format( atomic_number ) ) とやると、「Cu9」となってしまう。これは、内部で「$^29$」と書かれたと見做されているためである。 ベタ打ちするならば、「…

微分係数の逆数は逆の微分?(続き)

前回、の時に、 であることを示した。 koideforest.hatenadiary.comしかし、前回得られた式をよく見ると、 でも になることがわかる。 はつまり であるわけだが、 が に依存しているにも関わらず、 のために となることがわかる。 これは、結構直感に反する…

微分係数の逆数は逆の微分?

以下の式は一般に正しいだろうか? の時は正しい。 がで定義されている場合、の方が求め易いことが多い。 なので、このような関係式をなるべく使いたい訳である。では、多変数の場合にはどうか? これをだけを抜き出すように式変形すると、 がヤコビアンと呼…

微分の連鎖律:係数は前?後?

微分の連鎖律 例えば、 この時、 で若干迷ったりすることはないだろうか? 後者だと、もう一回微分しないといけなくなり、答えは同じにならない。これをの微分で確認してみると、 したがって、係数は微分の前に出しておくのが正解である。 公式を覚えてしま…

Green関数の遅延条件(因果律)について

以下のサイトで、一次元のGreen関数が分かり易くまとめられている。 slpr.sakura.ne.jpにおいてのところでは簡単に一般形が求まるし、更に遅延条件(因果律)を課すことで具体的な形が求まるというのは、なるほどと思った。 それによって、自分が以前求めた…

Crude adiabatic (Crude-Born-Oppenheimer) 近似

以前にBorn-Oppenheimer近似(BO近似)及び断熱(adiabatic)近似について言及した。 koideforest.hatenadiary.comここでは、またちょっと微妙に違うCrude-BO近似やCrude adiabatic近似を紹介する。前回で肝となっていたのは、パラメータに依存した演算子を定…

透熱的電子基底とBorn-Oppenheimer近似

前回は、断熱的電子基底(電子ハミルトニアンに対して対角)を用いたBorn-Oppenpheimer近似(BO近似)について解説した。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、もう少し一般化した透熱的な場合を紹介する。前回、ハミルトニアンを と定義した。ここで、の中…

ポテンシャルのルジャンドル関数展開

「ポテンシャルの角運動量展開」の二次元版だと思って頂いて差し支えない。係数 はルジャンドル関数の直交関係から出て来る。 koideforest.hatenadiary.com上記の式を用いて、まで展開してみる。 import numpy as np from math import radians from scipy.sp…

ボルン・オッペンハイマー近似

Born-Oppenheimer近似の説明で、電子波動関数が原子核の位置に依存する部分の導入に違和感を感じていたので、自分なりにまとめる。ハットは演算子が残っていることを表す。 例えば、電子の添え字をとし、電子の位置をとすると、 のように、位置表示(位置を…

ポテンシャルの角運動量展開

非球対称ポテンシャルでは、波動関数を球面調和函数で展開すると角運動量を添字とする行列になることを示した。 koideforest.hatenadiary.com 角度積分するのに掛かる時間を、必要な最大の軌道角運動量と動径メッシュの数をそれぞれ、とすると、全ての行列要…

非球対称ポテンシャルにおけるT行列

前回、非球対称ポテンシャルの時には、位相シフトがT行列を表すのにあまり役に立たないことを示した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、どうやってT行列(の行列成分)を求めるかを考える。 波動関数はT行列を使って次のように書けることを前回示した。 …

散乱理論:位相シフトとT行列:非球対称ポテンシャル

以前、球対称ポテンシャルの時の位相シフトとT行列についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、非球対称の時に両者がどのように結ばれるかを調べる。前回と同様、外側で値を持たないポテンシャルに対する外側の波動関数は、一般に次のように書け…