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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

調和振動子のハミルトニアンを生成消滅演算子で表す。

生成消滅演算子の係数がいつも天下りだったので、自分で求めてみることにした。調和振動子のハミルトニアン ちなみに、古典軌道の調和振動子について復習しておくと、 復習終了。ハミルトニアンを平方完成するような演算子を作りたい。 見たところ、 とおい…

水素分子イオンの各種一電子積分(プロット)

前回までに、水素分子イオンの結合・反結合軌道についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com今回は、各値をプロットしてその挙動を確かめる。 各種積分値 の方がに対する減衰が速いため、より近距離で働くことが分かる。 ハ…

水素分子イオンの結合・反結合軌道

前回、水素分子イオンにおけるハミルトニアンの行列要素を求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、それらが求まっているとして、結合・反結合軌道がどのようなロジックで得られるかを紹介する。各水素原子波動関数を基底関数として、その線形結合で水…

水素分子イオンの各種一電子積分

水素分子イオンの重なり積分、クーロン積分、交換積分を求める。参考にしたPDF https://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwilj8WMrbvgAhVPBGMBHYacDWMQFjAGegQIAxAC&url=http%3A%2F%2Fwww.geocities.jp%…

matplotlibで二文字以上の変数を上付きにする。

matplotlibで普通に from matplotlib import pyplot as plt atomic_number = 29 plt.title( 'Cu$^{}$'.format( atomic_number ) ) とやると、「Cu9」となってしまう。これは、内部で「$^29$」と書かれたと見做されているためである。 ベタ打ちするならば、「…

微分係数の逆数は逆の微分?(続き)

前回、の時に、 であることを示した。 koideforest.hatenadiary.comしかし、前回得られた式をよく見ると、 でも になることがわかる。 はつまり であるわけだが、 が に依存しているにも関わらず、 のために となることがわかる。 これは、結構直感に反する…

微分係数の逆数は逆の微分?

以下の式は一般に正しいだろうか? の時は正しい。 がで定義されている場合、の方が求め易いことが多い。 なので、このような関係式をなるべく使いたい訳である。では、多変数の場合にはどうか? これをだけを抜き出すように式変形すると、 がヤコビアンと呼…

微分の連鎖律:係数は前?後?

微分の連鎖律 例えば、 この時、 で若干迷ったりすることはないだろうか? 後者だと、もう一回微分しないといけなくなり、答えは同じにならない。これをの微分で確認してみると、 したがって、係数は微分の前に出しておくのが正解である。 公式を覚えてしま…

Green関数の遅延条件(因果律)について

以下のサイトで、一次元のGreen関数が分かり易くまとめられている。 slpr.sakura.ne.jpにおいてのところでは簡単に一般形が求まるし、更に遅延条件(因果律)を課すことで具体的な形が求まるというのは、なるほどと思った。 それによって、自分が以前求めた…

Crude adiabatic (Crude-Born-Oppenheimer) 近似

以前にBorn-Oppenheimer近似(BO近似)及び断熱(adiabatic)近似について言及した。 koideforest.hatenadiary.comここでは、またちょっと微妙に違うCrude-BO近似やCrude adiabatic近似を紹介する。前回で肝となっていたのは、パラメータに依存した演算子を定…

透熱的電子基底とBorn-Oppenheimer近似

前回は、断熱的電子基底(電子ハミルトニアンに対して対角)を用いたBorn-Oppenpheimer近似(BO近似)について解説した。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、もう少し一般化した透熱的な場合を紹介する。前回、ハミルトニアンを と定義した。ここで、の中…

ポテンシャルのルジャンドル関数展開

「ポテンシャルの角運動量展開」の二次元版だと思って頂いて差し支えない。係数 はルジャンドル関数の直交関係から出て来る。 koideforest.hatenadiary.com上記の式を用いて、まで展開してみる。 import numpy as np from math import radians from scipy.sp…

ボルン・オッペンハイマー近似

Born-Oppenheimer近似の説明で、電子波動関数が原子核の位置に依存する部分の導入に違和感を感じていたので、自分なりにまとめる。ハットは演算子が残っていることを表す。 例えば、電子の添え字をとし、電子の位置をとすると、 のように、位置表示(位置を…

ポテンシャルの角運動量展開

非球対称ポテンシャルでは、波動関数を球面調和函数で展開すると角運動量を添字とする行列になることを示した。 koideforest.hatenadiary.com 角度積分するのに掛かる時間を、必要な最大の軌道角運動量と動径メッシュの数をそれぞれ、とすると、全ての行列要…

非球対称ポテンシャルにおけるT行列

前回、非球対称ポテンシャルの時には、位相シフトがT行列を表すのにあまり役に立たないことを示した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、どうやってT行列(の行列成分)を求めるかを考える。 波動関数はT行列を使って次のように書けることを前回示した。 …

散乱理論:位相シフトとT行列:非球対称ポテンシャル

以前、球対称ポテンシャルの時の位相シフトとT行列についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、非球対称の時に両者がどのように結ばれるかを調べる。前回と同様、外側で値を持たないポテンシャルに対する外側の波動関数は、一般に次のように書け…

永年方程式は無限空間には使えない。

第一原理計算でよくある平面波展開は、よく考えると無限空間には使えない。 というのも、平面波の規格化が箱の規格化ではなく、デルタ関数規格化だからである。を無限空間の平面波で展開すると、 これの左から任意の平面波をかけて、位置で積分することで直…

単振動を(完全)Green関数を使って解く。

これまでは以下の非摂動Green関数を使って来た。 koideforest.hatenadiary.com また、T行列を使うと、積分の中をを使って表すことが出来る。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、を取り込んだ(完全) Green関数を使う。 単振動のGreen関数は以前に既に求…

Muffin-tin近似と厳密なポテンシャルとの差について

簡単のため、二個の離れた原子核からのクーロンポテンシャルのみを扱うとする。 この時の、厳密なポテンシャルとMuffin-tin近似との差を見る。Muffin-tin近似をする際、隣のサイトのポテンシャルの球平均は、以前にまとめた方法を使った。 koideforest.haten…

誤差関数によるステップ関数でGibbs現象は起こるか?

ステップ関数等で不連続に打ち切られた関数をフーリエ変換しようとすると、どんなに頑張っても振動が残る。 これはギブス現象として知られている。 ギブズ現象 - Wikipediaでは、ステップ関数の代わりに誤差関数で滑らかにしたら、どれくらい収束が良いのか…

Juliaで一次元井戸型ポテンシャル

以下のサイトの下の方に、Juliaで一次元のシュレーディンガー方程式を解くPDFが紹介されている。 物理ノートby永井Juliaの練習としてやってみた。 PDF内では、無限の井戸の中に斥力ポテンシャルを入れた場合をやっているが、ここでは引力ポテンシャルに対し…

二次元のベクトルの割算について

ベクトルの割算ってなんだ?って思った時に、複素数の割算を考えてみた。虚数は行列に直すことが出来るので、 これはベクトルの変換行列を求めたことに対応する。 と定義すれば、回転行列をでスケールした変換行列になることがわかる。ここまで、幾何学的な…

単振動をT行列を使って解く。

前回、Green関数を使って古典単振動の軌跡を求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、無限級数の別表現として、行列を使ってみる。 行列は、Green関数を用いて次のように定義出来る。 この行列を用いて、前回の式を書き直すと、 だから、 ここで、Green…

単振動を(非摂動)Green関数を使って解く。

前回、Green関数を使って古典力学の基礎問題を解いた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com今回は古典単振動の軌跡をGreen関数を使って求める。 自由落下の時は、非斉次項が定数だったが、単振動では求めたい関数自身が含まれているた…

自由落下をGreen関数で解く。

二階微分だけの演算子に対するGreen関数を求めた。 koideforest.hatenadiary.com求めたと言っても、斉次解が含まれていないので、Green関数の一般解にはなっていない。 斉次解を含めると、ここで、自由落下の問題を考える。 この時、Green関数を用いると、 …

二階微分だけの演算子のGreen関数(フーリエ変換経由)

前回、単振動方程式におけるGreen関数を導出した。 koideforest.hatenadiary.com二階微分だけとなると と置き換えることに対応するのは明らかである。 実は、ここから直接求めようとすると、二位の極をまともに扱わないといけないので、死にかけた(というか…

単振動方程式に対するGreen関数(コーシーの主値積分ver.)

一次元の単振動の微分方程式に対するGreen関数を求めてみる。 したがって、計算するべき積分は、 時間が正か負かで積分経路が変わるので、以下場合分けで考える。 フーリエ積分を複素平面に拡張すれば、 今、実軸上の極を全て避けるように積分経路を取ったの…

任意の二つの量を三角関数で表す

この時、以下の関係を満たし、三角関数の枠内に収まる。 振動を扱っていると、よく見かける変形である。例えば、次のような同じ周期の三角関数の合成を考えると、 よって合成後に位相がずれるだけで済む。位相のズレの大きさは、 で求まり、 のとき であるか…

円周率が3.8より大きい証明(?)

円周率が4である動画が話題になった。 「円周率=4」を証明してみせましょう。“3.14…”を覆す新理論(?)に驚愕する声多数! 理数系学生「反論思いつかなくて草」 これと似たようなことを自分でもやってみた。アイデアは「波数が無限に大きく、かつ振幅が無…

pythonでペンローズタイリング

ペンローズタイリングとは、ペンローズが開発した非周期的な図形の敷き詰め方である。 以下のサイトで、ペンローズタイリングの方法と、そのpythonスクリプトが公開されている。 Penrose Tiling Explained図の描画には、pycairoが使われていて、事前にインス…