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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

有効質量と自己エネルギーについて。

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 自己エネルギーの虚部がゼロ()であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、(準)粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。 その(準)粒子エ…

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。 Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。係数には流儀があると思うが、自由状態において係数がとなるように(振動数での逆Fourier的な積分が1になるように)スペクトル関数を定義すると、 具体例として自由…

Hartree原子単位系とRydberg原子単位系

いっつも細かいところを忘れる。 良い記述を見つけたのでメモ。 The Hartree atomic units は微細構造定数, は水素原子の1s電子のエネルギー。 The Rydberg atomic units 参考文献 M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "…

等速円運動の曲率半径

自然座標 が描く軌道上の点を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿ったまでの距離をとおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離は時間の関数で表せる。 これを推し進め、と変換すれば、軌道はの変数としてみなすことが出来る。この表現を用いて、速…

EXAFS解析の"Thorough Search"法について。

www.jstage.jst.go.jpCurve fitting (CF)だと最小のR因子を与えるパラメータ(の組)しか最終結果が得られないが、Thorough search (TS)だと(大雑把に言って)他の極小値もわかる、というもの。 具体的には、R因子に上限(例えばRヒストグラム(ある幅を持…

運動量演算子のエルミート性。

いつも忘れる。参考サイト。 位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値(つまり積分)の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。 ただ…

単一三角格子の固有値問題。

単一三角格子において、各サイトへのホッピングをで表すと、ハミルトニアンは と書ける。 このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルを求める。三次方程式の解き方を忘れたので、以下のサイトを参照。 三次方程式の解き方と例題3問 | 高校数学の美しい物語 …

等方的な関数のフーリエ変換。

1次元 2次元 3次元

Gaussianの半値幅。

規格化されたGaussianは次の形で与えられる。 規格化されている(積分値が1になっている)ことは、次のようにして確かめられる。 を用いた表記は、統計学的な処理を行う際に便利である(と想像される)が、直感的にどれくらいの幅を持つのかが分かりにくい。…

NiOの反強磁性結晶構造における対称性をspglibを使って求める。

通常の結晶構造であれば、データベースか何かから引っ張って来れるが、それをベースにした超周期構造を作ろうと思うと、対称性(空間群)が変わるため、手でやるには歯が立たない。 そこで、入力した原子座標に対して対称性を見つけてくれる spglib を使って…

gfortran での変数の次元の制約。

何も考えずにプログラムを作っていたら、配列の次元が7個を超えるとコンパイルできないらしい。 program test_array7 real( kind( 0d0 ) ) :: r( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) end program test_array7 これを gfortran でコンパイルすると test_array7.f90:3:4…

Fourier変換の符号や係数の気持ち。

自分で毎回忘れるので、まとめておく。Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため(語弊があるが)不定性があり、分野によって異なる(気がしている)。一応、自分ルールとして、 位置および時間を基準とし、波数もしくは(角)…

実空間多重散乱からKKR法への接続。

あるセル内の散乱によるセルT行列を と置くと、全てのサイトによる散乱Green関数 は次のように書ける。 ここで、 は自由散乱状態におけるGreen関数である。また、セルに属するサイトをという風に表した。セルT行列 はサイトT行列 を用いて次のように書ける。…

T行列のサイトT行列展開とセルT行列展開。

T行列は元々サイトポテンシャルの展開で以下の様に定義されている。 しかし、「違うサイトへの伝搬」と「同じサイト内での多重散乱」が混在しており、実際の計算には非常に不便である。 そこで、同じサイトのポテンシャル散乱を繰り込んだサイトT行列を定義…

python で Lebedev quadrature を使う。

以前にLebedev求積法について紹介した。 koideforest.hatenadiary.com最近ではpythonでもLebedev求積法が使えるmoduleがあるらしい。 quadpy · PyPIとりあえずテストコードを書いた。 import numpy as np import quadpy def f_cart( xyz ): # np.shape( xyz …

定数ポテンシャルを与える球対称電子密度について。

Poisson方程式の解は、 と書ける(原子単位系)。多重極子展開および角運動量展開を利用すると、 ここで、元々 の時、 が半径まで値を持つ場合において、その内側で が定数になる の形を求めることを試みる。 定数であるから、微分するとポテンシャルはゼロ…

化学ポテンシャルの温度依存性。

前回、Sommerfeld展開についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、(状態密度)として適用し、化学ポテンシャルの温度依存性について調べる。 ここで、 とすると、Tayler展開を用いて次のように書ける。 ここで、自由電子の状態密度が であるた…

Sommerfeld展開。

Sommerfeld展開は、Fermi分布関数 が掛かった関数の積分値に関する展開式で、以下のように表される。 室温程度であれば、(が十分滑らかな関数である限り) 第二項までの打ち切りが良い近似として成り立つことが知られている。 この展開を導出してみることにす…

OPW(直交化平面波法)

そもそもの大前提として、系が周期性を持ち、ハミルトニアンが(周期性を保つ)並進操作に対して不変であるとする。 平面波で基底を展開すると、強く局在したcore状態との直交性を記述しようとするために高い波数が必要になってしまい、実際に計算するにはと…

力学的相似(ビリアル定理)。

(系の)ビリアルとは以下の量のことを呼ぶ(らしい)。 古典(質点)力学においては、変数は時間であるため、これは時間平均量として解釈出来る。 ビリアル定理とは、 ポテンシャルエネルギーが座標の同次関数 系の運動が有限領域内に限られている 場合に成…

力学的相似。

ランダウ=リフシッツ(力学)に載っていた問題。一般座標と時間と質量をスケール変換することを考える。 このスケール変換に対して、ラグランジュ方程式が不変に保たれる条件を考える。速度等の普遍的な量は以下のスケール変換を受ける。 ポテンシャルに関し…

fortran のオプショナル引数

練習として、オプショナル引数を使ったサンプルプログラムを作った。Fortran 入門: サブルーチンと関数(自作手続) program ex call ex_sub( 1, z = 3 ) contains subroutine ex_sub( x, y, z ) implicit none !integer, intent( in ) :: x, y, z integer, …

fortran における複素数の入力

以下のファイルの中身を複素数の変数に読み込ませたいとする。 # test input file: test.inp 1.00000 2.00000結構探したが、fortranで外部から複素数を読み込ませるときの上手い方法が見つからなかった。 結局、実数変数に一時的に格納し、後で複素数に変換…

fortran で End of file を検出する。

fortranでファイルを限界まで読み続けると、End of file でエラーが返って来る。この辺がなんとも原始的な香りを感じさせる。 この End of file を検出/処理するためには、以下の二通りが考えられる。 END で行番号へ飛ぶ。 Fortran 入門: ファイル操作 impl…

LAPACK・LAPACK95の使い方。

LAPACKの使い方でいつも困るので自分用も兼ねてまとめる。 LAPACKのインストールの仕方については沢山サイトがあるので割愛。 サブルーチンのリスト(マニュアル) LAPACK95 -- Fortran95 interface to LAPACK Index of LAPACK95 Routines LAPACK95のサブル…

数演算子の波数表示。

数演算子 の波数表示を求める。まず、素直にをフーリエ級数展開で波数表示にしてみる。 にを代入することでを求める。 元に戻るかを確認すると、 の対称性として、が使える。 もしくは以下のようにしても示せる。 特別にのとき、 というように、電子数変化の…

平均場近似の心。

演算子、もしくは確率変数をと置き、それらの期待値(平均値)をそれぞれすると、 という式が成り立つ。 これはまだ厳密である。ここで、「は平均値にそれぞれ近いから、「揺らぎ」である, は凄く小さい」と考えるのが平均場近似である。 ポイントは、という…

オンサイトクーロンの波数表示。

ハバードモデルにあるオンサイトクーロン項の波数表示 を証明する。証明には、以下の関係式が必要である。 これらは以下の記事で扱ったことがある。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comよって、

時間順序演算子を用いた時間発展演算子の表現。

時間発展演算子は、一般のハミルトニアンに対して次のように表される。 注意として、の順番は勝手に変えてはいけない。 順番を変えて良いのは、同じ時刻の時にのみ限る。 二番目の積分を変形していくが、以下の積分は変数変換をするわけではなく、厳密に同じ…

CoulombポテンシャルのFourier変換(収束因子経由)

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は収束因子を導入することによって求める。 と定義すると、 この積分を評価する。と定義し、と置くと、 したがって、