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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

数演算子の波数表示。

数演算子 の波数表示を求める。まず、素直にをフーリエ級数展開で波数表示にしてみる。 にを代入することでを求める。 元に戻るかを確認すると、 の対称性として、が使える。 もしくは以下のようにしても示せる。 特別にのとき、 というように、電子数変化の…

平均場近似の心。

演算子、もしくは確率変数をと置き、それらの期待値(平均値)をそれぞれすると、 という式が成り立つ。 これはまだ厳密である。ここで、「は平均値にそれぞれ近いから、「揺らぎ」である, は凄く小さい」と考えるのが平均場近似である。 ポイントは、という…

オンサイトクーロンの波数表示。

ハバードモデルにあるオンサイトクーロン項の波数表示 を証明する。証明には、以下の関係式が必要である。 これらは以下の記事で扱ったことがある。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comよって、

時間順序演算子を用いた時間発展演算子の表現。

時間発展演算子は、一般のハミルトニアンに対して次のように表される。 注意として、の順番は勝手に変えてはいけない。 順番を変えて良いのは、同じ時刻の時にのみ限る。 二番目の積分を変形していくが、以下の積分は変数変換をするわけではなく、厳密に同じ…

CoulombポテンシャルのFourier変換(収束因子経由)

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は収束因子を導入することによって求める。 と定義すると、 この積分を評価する。と定義し、と置くと、 したがって、

電子ガス模型における電子間相互作用の一次摂動。

電子ガス模型における電子間相互作用の効果を、一次摂動で求める。 ここで、変数変換およびをすると、対称性が良くなる。 半径の球を考える。のとき、の動く範囲はこの球に一致する。 絶対値の中身を具体的に考えると、 これをもとに、で固定したときに許さ…

軸対称な物体の体積。

CTスキャンのように、断面図をからまで足し合わせていくイメージである。 軸対称なため、断面図は半径の円である。球体の場合、 であるから、 となり、よく知っている球の体積が得られた。

電子ガスでよく使うパラメータまとめ

電子密度 電子一個が占める球の半径 Bohr半径 Bohr半径で規格化した電子一個分の半径 Fermi波数

Bosonの多電子波動関数

参考文献:Fetter-WaleckaBosonの多電子波動関数は一電子Boson波動関数および展開係数を用いて、一般に以下のように書ける。 上記に対する例を挙げると、 注意として、 占有率表示における規格化条件は、 のうち、"1"の状態に割り振る数を、"2"に割り振る数…

組み合わせの一般化。

個の要素(例えば番号の振られたボール)のうち個を取り出して、それを個のグループ(例えば番号の振られた筒)に分けたときに、各グループ内の要素の個数がとなる組み合わせの数は、 ただし 証明 個の要素(例えば番号の振られたボール)から個を取り出して…

はじめてのベイズ法。

IPythonデータサイエンスクックブックに載っていた内容の紹介。以下、言葉と記号を整理しておく。 : モデルを構成するパラメータ。ただし、確率変数として扱っていく。 : 「事前確率分布」と呼ばれる、を決定するのに何も情報を持っていない時に仮定するの確…

調和振動における滞在時間からの分布関数の導出。

古典的な調和振動は以下のように表される。 周期を用いて、この振動の(位置)期待値を取ると、 つまり、原点に多く存在している「ように」見える。次に、標準偏差を取ると、 となり、「少なくとも」常に原点にいるわけではないことがわかる。一方、原点から…

無限級数の部分和による近似。

無限級数を部分和に分解したときに、相対誤差がどのようになるかを考察してみた。 無限級数を以下のように定義する。 この無限級数を次の様に部分和で近似してみる。 この近似の相対誤差は、 更に、で元の無限級数に一致させるために、重み付けして和を取る…

Campbell-Baker-Hausdorffの公式と生成消滅演算子の時間発展。

いつも公式を忘れるので、ここでまとめる。 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を帰納法を用いて証明する。 帰納法を使えば、 したがって、一般の次数における微分係数が求まったため、Maclaurin展開より、 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を(自由)電子系に応…

二項分布まとめ

二項分布の平均と分散がわかりにくかったのでまとめ。 参考:二項分布の平均と分散の二通りの証明 | 高校数学の美しい物語このとき、二項分布に従う確率変数と、となる確率 は次のように定義される。 が規格化されていることを確認。 二項分布に従う確率変数…

極値において、一階微分がゼロでも二階微分はゼロじゃない点について

例として、三次方程式 を考える。では極値を取るとすると、 極値が存在するかどうかは、二次方程式の判別式を解く必要があるが、極値の存在を仮定すると、の関係が求まる。この条件のもと、極値における二階微分を求めると、 となり、一般にゼロでない。この…

正規分布関数(Gauss関数)の正規性、平均および分散

正規分布関数を以下に定義する。 規格化が成り立っていることの証明。 平均値がであることの証明。 分散がであることの証明。 よって、は標準偏差を表すことになる。

三準位系の間接相互作用(プロット)

前回、三準位系について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、実際にエネルギー準位が相互作用によってどう変化するかをプロットする。 import numpy as np import sympy as sy from matplotlib import pyplot as plt # eigenvalues e, v12, v23 =…

三準位系における間接相互作用

三準位系で、1と3は相互作用しないが、それぞれ2と相互作用しているときの1と3の関係について知りたい。解きたい行列式。 簡単のため、 更に簡単のため、。 のとき、 となり、中心のは動かない。 二準位だけ考えた場合の分裂幅は、 であることから、三準位で…

CoulombポテンシャルのFourier変換(Poisson方程式経由)

Ashcroft-Mermen "Solid State Physics"に準拠する方法で紹介する。単位の取り方で、が付いたり付かなかったり等、色々有る。 電磁気量の単位系 - Wikipedia CGS単位系を選択することで、 がPoisson方程式に露わに現れる。 。 として扱う。Poisson方程式。 …

「式の形」と「リーダブルコード」について

正射影ベクトルの公式というものがあるらしい。 正射影ベクトルの公式の証明と使い方 | 高校数学の美しい物語 これは、「ベクトルをベクトル方向に射影したベクトルを求める」というものである。この公式を見て思ったのは、「計算出来るけど『意味が』分かり…

励起状態に対する(定常状態)変分法について

「変分で求めた基底エネルギーは、真の基底エネルギーよりも高い」のは良い。しかし、「(定常)変分で求めた励起状態エネルギーは、真の励起状態エネルギーよりも高い」ことの証明は、ネット上でチラホラ見掛けるが、間違っている。励起状態に関しては、何…

ローレンツ関数の積分値

よく忘れるのでメモ。の積分変換と、が思い付けば勝ち。

ゼロとの掛算はゼロに戻る証明。

和の単位元0は、あらゆる積の演算に対して自分自身に戻る。 この性質は、体の定義には含まれておらず、定理として導かれる。 そこで、体に含まれる元に対して、であることを証明する。先に、後で使う定理を導いておく。 以下証明。和の単位元0の性質より、 …

和の逆元が唯一つ存在することの証明。

この手の問題は、ついつい当たり前として証明をサボってしまうので、一つ一つ丁寧にやっていくことにする。体において、とすると、 となる逆元が存在する。 は和において単位元の役割を果たす。この時、逆元が唯一つしか存在しないことを、単位元および逆元…

多変数関数の連続性

変数が増えると、一見連続そうに見えても、不連続な場合がある。例1: import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt def arbitrary_function( x, y ): return ( x - y ) / ( x + y + 1e-7 ) N = 1000 x_min, x_max = -1, 1 y_min, y_max = -1, …

マクスウェル方程式とゲージ変換

ほぼ自分用の初等的なメモWikipedia マクスウェルの方程式 - Wikipediaマクスウェル-ガウスの式 磁化保存の式だけ人の名前がついていない。 ファラデー-マクスウェルの式 アンペール-マクスウェルの式 ここから、各ポテンシャルとそれらのゲージ変換不変…

背理法をよく考えながら、Hohenberg-Kohnの第一定理を考える。

Hohenberg-Kohnの第一定理は以下の様なものである。 「外場と基底状態電子密度は一対一対応する。」 これは、背理法で証明されることがほとんどだろう。しかし、背理法そのものについて学ぶことは、あまりない気がしたので、ここでまとめる。「命題」を、「…

pythonでの計算時間の測定とその出力

自分用のメモ import time time_start = time.time() # # calculation contents # time_end = time.time() delta = time_end - time_start second = delta % 60 minuite = ( delta % 3600 ) // 60 hour = delta // 3600 print( " {:>.1f} s".format( delta )…

Windows 10にWSLでUbuntuを入れたらOpenMPIで警告が出た時の話

OpenMPIをインストールした後、mpirunで実行ファイルを走らせると、以下のような警告文が出た。 WARNING: Linux kernel CMA support was requested via the btl_vader_single_copy_mechanism MCA variable, but CMA support is not available due to restric…